Quiero asegurarme de que mi prueba es correcto el uso de $\epsilon, \delta$ definición de continuidad de las $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Question

Por lo tanto, vamos a considerar la función

$$ f(x)=\begin{cases} \sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{casos} $$

Yo quiero probar esta función es discontinua en a $x=0$.

Deje $\epsilon=\frac{1}{2}$. Y consideremos $x_n=\frac{2}{(4n+1)\pi}$. Supongamos $ \frac{2}{(4n+1)\pi} < \delta$$\delta>0$. Si la función se continua debemos tener $|f(x_n)-0|<\epsilon$. Pero, claramente, $f(x_n)=1$ para todo n, entonces tenemos $|f(x_n)|>\epsilon=\frac{1}{2}$. Por lo tanto, la función no es continua en x=0. Es correcto?

Answer 1

La idea de la prueba es correcta, pero un poco de redacción podría ser necesaria. No se puede decir "Supongamos $\frac{2}{(4n+1)\pi} < \delta$, como tal vez exista $\delta \le \frac{2}{(4n+1)\pi}$, que es adecuado para nuestra $\epsilon$. De todos modos la mejor manera de hacerlo es por contradicción.

Deje $\epsilon = \frac 12$ y asumir la función es continua en $x=0$. Entonces existe un adecuado $\delta > 0$ s.t. $|x| < \delta \implies |f(x)| < \epsilon$. Ahora, usando el Archimedian Principio de que tenemos que no es un número entero $n$, s.t. $n > \frac{1}{2\delta \pi} - \frac 14$. Por lo tanto, tenemos que $\frac{2}{(4n+1)\pi} < \delta$, por lo que debemos tener: $\left|f\left(\frac{2}{(4n+1)\pi}\right)\right| \le \frac 12$, pero esto es incorrecto, como se muestra. Por lo tanto $f$ es discontinua en a $0$.