Lo que se pierde al pasar el motivo?

Question

Pensé acerca de qué información sobre un esquema que pierde al pasar a su motivo. Me encontré con los siguientes ejemplos:

1. El proyectiva paquete de un vector paquete, no sólo dependen de la categoría del vector paquete de lo que está torcido (esto se deduce de la de Mayer-Vietoris exacta triángulo).
2. El motivo de la explosión de una $\mathbf{P}^2$ en un punto es igual el motivo de la quadric surface.

¿Hay más grandes clases de tales fenómenos? (Hay una clase que 2. encaja en?)

Y a la inversa, ¿qué podemos recuperar acerca de la variedad de su motivo?

Answer 1

Ambos ejemplos se consideran tienen la propiedad de que la estructura aditiva de los grupos de Chow son el mismo, pero la multiplicación de las estructuras son diferentes. En el primer caso la multiplicación depende de las clases de Chern de el paquete, y en el segundo caso la intersección de las formas en $CH^1$ $x^2 - y^2$ $2uv$ que son diferentes de una forma integral. Así que si nos captura de estructura multiplicativa de la motivación (que es $\Delta: M(X) \to M(X) \otimes M(X)$ creo) vamos a ser capaces de hacerlo mejor.

Para el ejemplo 2, ambas variedades son celulares (pegado desde afín espacios), y el número de células en cada una de las dimensiones de la misma. Tales variedades han isomorfo (Tate) motivos.

En general, creo que no hay mejor respuesta a la pregunta "¿Qué podemos recuperar acerca de la variedad X a partir de su motivo?" en lugar de la trivial: "podemos recuperar todos los razonables cohomology teorías evaluado en X". Soy muy curioso lo que otras personas dicen, aunque.

Como una nota aparte, recuerdo haber leído en alguna parte que se espera que la integral motivo de una quadric determina la quadractic propio formulario.

Answer 2

Aquí la palabra "motivo" será un ejemplo de Grothendieck motivos puros modulo racional de equivalencia. Su punto 1. es cierto también para los paquetes de Grassmann. Más precisamente, el siguiente resultado se tiene :

Deje $E\longrightarrow X$ ser un vector paquete de rango $n$, $k\leq n$ y $Gr_k(E)\longrightarrow X$ de los asociados Grassmann paquete. A continuación, $M(Gr_k(E))\simeq \coprod_{\lambda}M(X)[k(n-k)-\lambda]$ donde $\lambda$ corre a través de todas las particiones $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_k)$ satisfacción $n-k\geq \lambda_1\geq...\geq \lambda_k\geq 0$.

Puedes probarlo en la misma forma que para el proyectiva paquete teorema, como una aplicación Yoneda tipo de lema para Chow grupos.

Ahora sabemos muchas cosas sobre los motivos de quadrics. Por ejemplo, si una forma cuadrática $q$ es isotrópica, el motivo de la asociada quadric $Q$ tiene una descomposición $\mathbb{Z} \oplus M(Q_1) \oplus \mathbb{Z}[\dim(Q)]$ donde $Q_1$ es un quadric de dimensión $\dim(Q)-2$ asociada a una forma cuadrática $q_1$ Witt equivalente a $q$. Utilizando inductivamente obtener el motivic descomposición de split quadrics y por ejemplo si $\dim(q)$ es impar y $q$ se divide el motivo de $Q$$\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}[1]\oplus ... \oplus \mathbb{Z}[\dim(Q)]$. Otro resultado importante es el Rost nilpotence teorema que afirma que el núcleo del cambio de campo functor en Chow grupos de quadrics consta de nilpotents. Este resultado es muy fructífera, ya que implica que el estudio de la motivación de quadrics puede ser hecho a través de un campo que se divide el quadric, trabajando con racional de los ciclos en lugar de ciclos sobre el campo base. Aunque estos motivic los resultados de las graves restricciones en la mayor Witt índices de quadrics y muy importante de las aplicaciones, el motivo no contiene "todo" acerca de la asociada cuadrática (incluso en términos de mayor Witt índices).

Otra clase interesante de variedades para motivic cálculos son los espacios celulares, es decir, los esquemas $X$ dotado de una filtración por cerrado subschemes $\emptyset \subset X_0\subset ... \subset X_n= X$ afines y de paquetes de $X_i\setminus X_{i-1}\rightarrow Y_i$. En esta situación el motivo de $X$ es isomorfo a la suma directa de los turnos de los motivos de la $Y_i$. Por ejemplo, la filtración de $\mathbb{P}^n$ $X_i=\mathbb{P}^i$ y los afín paquetes están dadas por la estructura de morfismos de $\mathbb{A}^{i}$ implica la motivic descomposición $M(\mathbb{P}^n)=\mathbb{Z}\oplus ... \oplus \mathbb{Z}[n]$, y como pueden ver este es el mismo motivo por extraño dimensiones split quadrics, por lo que certainely perder información.

La situación es mucho más complicada la sustitución de formas cuadráticas por proyectiva homogénea variedades, pero todavía bajo algún supuesto de que usted puede recuperar algunos resultados, como Rost nilpotence teorema, y ahora comenzamos a tener una buena descripción de su motivo. Bajo estas hipótesis, el motivo de la proyectiva homogénea variedades codifica la información sobre el subyacente de la variedad, tales como la dimensión canónica, con el ejemplo de la computación de aquellos generalizada de Severi-Brauer variedades. Algunas obras también se han hecho para vincular los motivos en este caso con la mayor Tetas índices de la base algebraica de los grupos.

Sólo para citar algunos de los matemáticos de que debemos de estos grandes resultados : V. Chernousov, N. Karpenko, A. Merkurjev, V. Petrov, M. Rost, N. Semenov, A. Vishik, K. Zainoulline y probablemente muchos otros que se me olvidó mencionar.

edit : para agregar más precisión a las buenas respuestas del Señor Chandan Singh Dalawat y el Señor Evgeny Shinder, los motivos de la (habitual) Severi-Brauer variedades de álgebras de división son de hecho los mismos como proyectiva del espacio y dividir quadrics (en extraña dimensión), pero es obvio que, en el campo base son no necesariamente son isomorfos desde la Severi-Brauer en la variedad está totalmente dividida como siempre que hay un punto racional, mientras que una isotrópica forma cuadrática no es completamente dividida.

Answer 3

La verdad, no sé qué motivos, pero quizá ninguna suave cónica proyectiva sobre $\mathbb{Q}$ tiene el mismo motivo que $\mathbb{P}_1$. Por lo que perder la información acerca de los lugares donde la cónica tenido malas reducción. Lo mismo se aplica a las formas retorcidas de $\mathbb{P}_n$.

También, quizás a la de cualquier torsor en virtud de un abelian variedad $A$ tiene el mismo motivo que $A$, por lo que perder de información acerca de si el torsor tiene un punto o no.

Siéntase libre de criticar o corregir mí.

De bono. Un error en MO me impide hacer preguntas. Mientras que Anton se pone fijo, permítanme darles una traducción libre de los de arriba "respuesta" en francés :

J'ignore complètement ce qui sont les motivos, mais il me semble que toute conique lisse proyectiva sur $\mathbf{Q}$ le même motivo de que $\mathbf{P}_1$. Le motivo ne se souvient donc pas des lugares donde se encuentra la conique avait mauvaise réduction. On peut dire es autant des formes tordues de $\mathbf{P}_n$.

Aussi, la onu torseur sous une el varieté abélienne $A$ un probablement le même motivo que $A$; il ne se souvient donc pas si le torseur avait naciones unidas punto rationnel ou no.

N'hésitez pas à critiquer ou corriger cette réponse, ainsi que le français.