Card Draw pregunta

Question

¿Cuáles son las formas de atraer a 13 cartas de una baraja de 52 cartas, que (a) la mano es nulo en, al menos, un traje, (b) la mano no es nula en cualquier traje.("vacío en un traje" significa no tener cartas de ese palo)

Enfoque actual

Estoy pensando en las siguientes líneas:

Caso 1: Todas las tarjetas de exactamente 1 traje $= {4 \choose 1} * {13 \choose 13} = 4$ formas

Caso 2: Tarjetas de exactamente 2 palos = ${4 \choose 2} * [{26 \choose 13} - {2 \choose 1} * {13 \choose 13}] = 62,403,588$ formas

Caso 3: las Tarjetas de exactamente 3 se adapte a = ${4 \choose 3} * [{39 \choose 13} - {3 \choose 2} * [{26 \choose 13} - {2 \choose 1} * {13 \choose 13}] - {3 \choose 1} * {13 \choose 13}] = 32,364,894,588$ formas

Caso 4: Tarjetas de exactamente 4 palos = ${4 \choose 4} * [{52 \choose 13} - {4 \choose 3} * [{39 \choose 13} - {3 \choose 2} * [{26 \choose 13} - {2 \choose 1} * {13 \choose 13}]] - {4 \choose 2} * [{26 \choose 13} - {2 \choose 1} * {13 \choose 13}] - {4 \choose 1} * {13 \choose 13}] = 602,586,261,420$ formas

No tengo maneras de verificar la respuesta para el Caso-4. Sin embargo, como era de esperar, la respuesta de (a) coincide con la suma: 1 + caso + de 2 caso 3. Estoy seguro de que debe haber una forma más sencilla y más directa para llegar a estos números. Cualquier conocimiento. Muchas Gracias

Answer 1

Mi respuesta, de hecho, coincide con la suya. Aquí abajo está mi enfoque (que es mucho menos tedioso para la aritmética).

Tener al menos un palo evitado que nos acercamos a través de la inclusión-exclusión de la siguiente manera:

$|\text{at least one void}| = |\text{one guaranteed void}|-|\text{two guaranteed void}| + |\text{three guaranteed void}| - |\text{four guaranteed void}|$

Para encontrar, decir $|\text{two guaranteed void}|$, de escoger dos trajes están garantizados para ser de validez ($\binom{4}{2}$ número de maneras de elegir) y, a continuación, elegir qué cartas parecen que no son de la garantía de validez de los trajes de ($\binom{52}{26}$ número de formas). Tenga en cuenta que nosotros no molestar a encontrar la cantidad de exactamente dos anulados trajes como el overcounting está cuidado a través de la inclusión-exclusión en el proceso y la respuesta a la pregunta de exactamente dos anulados trajes es irrelevante para nuestra pregunta original.

$|V_{\geq 1}| = \binom{4}{1}\binom{39}{13}-\binom{4}{2}\binom{26}{13}+\binom{4}{3}\binom{13}{13}-\binom{4}{4}\binom{0}{13}$

El último término del curso es cero debido a que es imposible tener cuatro anulado trajes de mano de trece cartas.

mi respuesta=tu respuesta=$32~427~298~180$

La negación de "al menos un palo evitado" es "estrictamente menos de un palo evitado", que en este caso significa que no hay anulado trajes. Este puede ser encontrado por el hecho de que estos dos forman una partición de nuestro espacio muestral de todas las formas de recoger a los trece cartas.

$|V_0|=\binom{52}{13}-\binom{4}{1}\binom{39}{13}+\binom{4}{2}\binom{26}{13}-\binom{4}{3}\binom{13}{13} = 602~586~261~420$

Answer 2

Para (un), seleccione los 3 trajes representado de 4 y, a continuación, seleccione 13 cartas de la parte restante del $52 - 13 = 39$, para un total de $\binom{4}{3} \cdot \binom{39}{13} = 32489701776$. Para (b), es todas las posibilidades (tomo 13 de la tarjeta de 52) menos los que faltan un traje. La parte (a) se utiliza en la mayoría de los 3 palos, por un razonamiento similar:

• En la mayoría de un traje: $\binom{4}{1} \binom{13}{13}$
• En la mayoría de los dos trajes: $\binom{4}{2} \binom{2 \cdot 13}{13}$
• En la mayoría de los tres palos: $\binom{4}{3} \binom{3 \cdot 13}{13}$

Entonces exactamente 2 palos es (en la mayoría de los 3) - (a más de 2), es decir,

$$ \binom{4}{1} \binom{13}{13} - \binom{4}{2} \binom{2 \cdot 13}{13} = 32427298176 $$

Esta es esencialmente la inclusión-exclusión.

Gracias a JMoravitz para la captura de un error absurdo. Te suplico que no es suficiente café.