Cuál es la función que esta secuencia de funciones converge

Question

Demostrar que $$ \left(\sqrt x, \sqrt{x + \sqrt x}, \sqrt{x + \sqrt {x + \sqrt x}}, \ldots\right)$$ in $[0,\infty)$ es convergente y que debo encontrar el límite de la función.

Para dar una idea, yo era el trazado de la secuencia y a ver como

Answer 1

Sugerencia: La función de límite de $f$, cuando existe, debe satisfacer $(f(x))^2=x+f(x)$.

Para la existencia, tal vez utilice el hecho de que un aumento de la secuencia que está delimitado por encima de converge.

Answer 2

Tenga en cuenta que $f(x)$ está limitada por $\sqrt{x}+1$ como puede observarse fácilmente por $induction$.

Para el límite de $y=f(x)$ tenemos las siguientes :

$\sqrt{x+y}=y$

$x+y=y^2$

$0=y^2-y-x$

$\Delta= 1+4x $

$ So $ , $y=f(x)=\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$ para $x>0$ $f(0)=0 $ .