Iteración de punto fijo para funciones analíticas en la unidad de disco

Question

Supongamos que $f(z)$ es complejo analítica en $|z| \leq 1$ y satisface $|f(z)| < 1$ $|z|=1$.

(a) Demostrar que la ecuación de $f(z)=z$ tiene exactamente una raíz (contando multiplicidades) en $|z|<1$.

(b) Probar que si $|z_0| \leq 1$, entonces la secuencia de $z_n$ definido de forma recursiva por $z_n= f(z_{n-1}) , n=1,2,...$, converge al punto fijo de $f$.

Yo era capaz de demostrar (a) el uso del teorema de Rouch, pero (b) los tocones de mí. Sé que (b) es verdadera para la analítica de funciones tal que $f(0)=0$ o $|f'(z)|<1$ sobre el disco, ninguno de los cuales son necesariamente cierto en general. El más lejano que yo era capaz de conseguir que se $|f(z)-z^*|<\frac{1}{1-|z*|}|z-z^*|$, donde $z^*$ es el punto fijo de $f$, pero $\frac{1}{1-|z^*|}>1$, por lo que no creo que esto me ayuda. Puede alguien por favor me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Se puede reducir al caso de $f(0)=0$ ($0$ es el punto fijo) haciendo un adecuado lineal fraccional de transformación de la disco. Es decir, si $z^*$ es el punto fijo, aplicar el argumento de arriba a $L \circ f \circ L^{-1}$ donde $L$ envía $z^* \to 0$ y es un LFT.