Explicar el Método de Newton Variación para Encontrar los Polos de una Función

Question

El método de Newton para encontrar los ceros de una función utiliza un proceso iterativo paso a paso, como este:

\begin{align*} x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \\ \end{align*}

La siguiente variación en lugar de encontrar polos de una función. por qué? \begin{align*} x_{k+1} = x_k + \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \\ \end{align*}

Answer 1

Tomando el límite cuando $k\to\infty$ en ambas expresiones se da $f(x_k)/f'(x_k)\to 0$. Cuando la búsqueda de ceros, es natural que las $f(x_k)\to 0$. Sin embargo, cuando la búsqueda de los polos, no es, sino $f'(x_k)\to \pm\infty$ es. Desde la búsqueda de los polos de $f$ es equivalente a buscar los ceros de $1/f$, tenemos \begin{aligned} x_{k+1} &= x_k - \frac{1/f(x_k)}{-f'(x_k)/f(x_k)^2} \, ,\\ &= x_k + \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \, . \end{aligned} La simplificación $f(x_k)^2$ es responsable de la confusión.