Área bajo la parábola utilizando la geometría

Question

Tenemos que encontrar el área de la región rosa. Como todos sabemos esto se puede evaluar limitando su suma de Riemann, de la cual es un ejemplo estándar. Sin embargo quiero saber si esto se puede hacer sin usar el cálculo, con el uso directo de la geometría. Creo que sería un reto muy interesante, pero no soy capaz de pensar en una salida.

Answer 1

Depende un poco de lo que se entienda por geometría. Si puedes ver "geométricamente" que estirar la función horizontalmente por un factor de $2$ debe duplicar el valor de la integral, y si se puede ver "geométricamente" que la integral de una suma de dos funciones debe ser la suma de las integrales, entonces existe tal prueba, y la explico aquí:

http://mathoverflow.net/questions/114738/integrating-powers-without-much-calculus/114843#114843

Answer 2

Utilizando una transformación similar a la utilizada por Arquímedes para la esfera y el cilindro, demuestre la equivalencia del corte de la curva en el punto $x$ al área de una rodaja de pirámide. El área total será igual al volumen de la pirámide de base y altura unitarias. Sin embargo, esto equivale al cálculo (disfrazado).