Paramétrico de los límites de

Question

Sé que hay un teorema que nos permite el intercambio de la derivada con la integral en algunos casos. Me preguntaba si hay un teorema que nos permite el intercambio de la derivada con un límite. Por ejemplo, en virtud de que la regularidad de las condiciones para la función de $f$ podemos tener algo como

$$ \frac{\partial}{\partial a}\lim_{n \to \infty} f(n,a) =\lim_{n \to \infty} \frac{\partial}{\partial a} f(n,a)?$$

Answer 1

Este es el caso, por ejemplo, si para cada $n$ $f(n,z)$ es analítica en un (complejo) de vecindad $D$ $a$ $f(n,z)$ converge a su límite como $n \to \infty$ uniformemente en compactos de subconjuntos de a $D$.

Answer 2

Una más "real de la variable de" estilo condición es este. Permítanme escribir $f_n(\alpha)$ en lugar de $f(n,\alpha)$, e $f(\alpha) = \lim_{n \to \infty} f_n(\alpha)$. Supongamos que en algún intervalo cerrado $I$, $f$ y todos los $f_n$ $C^2$, $f_n \to f$ pointwise, y todos los $f_n''$ son uniformemente acotada. A continuación, $f_n' \to f'$ uniformemente en $I$.

Basta probar esto en el caso de $f = 0$ (en general, tome $g_n = f_n - f$ que satisface unas condiciones similares a las $f_n$ pero converge a $0$, por lo que si $g_n' \to 0$ tenemos $f_n' \to f$).

Deje $\alpha, \beta$ ser miembros distintos de $I$, y deje $B$ ser un uniforme obligado para$f_n''$$I$. Por Taylor teorema, $f_n(\alpha) - f_n(\beta) = f_n(\alpha) + f_n'(\alpha) (\beta - \alpha) + f_n''(\xi_n) (\beta - \alpha)^2/2$ para algunos $\xi_n \in I$. Escribo esto como $$f_n'(\alpha) = \frac{f_n(\beta) - f_n(\alpha)}{\beta - \alpha} - f_n''(\xi_n) \frac{\beta - \alpha}{2} $$ Given $\epsilon > 0$ and $\alpha$, take $\beta$ so that $0 < |\beta \alpha| < 2\epsilon/(3 B)$. Take $n$ large enough that $|f_n(\alpha)| < |\beta \alpha| \epsilon/3$ and $|f_n(\beta)| < |\beta \alpha| \epsilon/3$. Then we have $|f_n'(\alpha)| < \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon$. Since this works for all $\epsilon$, conclude that $f_n'(\alpha) \a 0$ as $n \to \infty$.

Answer 3

De nuevo, escribir $f_n(x) = f(n,x)$. Si $f_n \in \mathcal C^1$, $f_n$ converge y $f_n'$ converge uniformemente, $(\lim_{n \to \infty} f_n)' = \lim_{n \to \infty} f_n'$.

Esto puede ser demostrado por primera muestra de que $$\lim_{n \to \infty} f_n(x) - f_n(0) = \lim_{n \to \infty} \int_0^x f'(t) dt = \int_0^x (\lim_{n \to \infty} f_n'(t)) dt$$ (this uses that the $f_n$ are $\mathcal C^1$ en el primer paso y convergencia uniforme en el segundo paso) y, a continuación, diferenciando a ambos lados.