Es $\mathbb{Z}$ isomorfo a $\bigoplus_{p\in \mathbb{P}}\mathbb{Z}_p$?

Question

Es $\mathbb{Z}$ isomorfo a $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}_7\oplus \cdots$?

Esto parece natural conceptual de la extensión del teorema del resto Chino pero no estoy seguro de cómo iba a funcionar con una infinita suma.

Answer 1

$(1,0,0,0,0,....)$ orden $2$ $\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3\oplus\mathbb{Z}_5\oplus\mathbb{Z}_7\oplus...$

Ningún elemento en $\mathbb{Z}$ orden $2$.

Answer 2

Hay una natural mapa de $\mathbb{Z} \to \prod_{p^k} \mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$, donde el producto se ejecuta durante todo el primer poderes, dado por tomar restos. El Teorema del Resto Chino muestra que este mapa es inyectiva. Desde el LHS es contable y el lado derecho es incontable, no puede ser surjective.

Sin embargo, la siguiente pregunta natural se presenta a sí misma: "supongamos que describen un número mediante la descripción de sus residuos modulo de todo el primer poderes de una manera consistente, por ejemplo, si el número es $1 \bmod 4$ debe también ser $1 \bmod 2$. ¿Qué tipo de objeto con el que tengo si no tengo un número entero de vuelta?" La respuesta es que usted consigue un profinite entero. El profinite enteros $\hat{\mathbb{Z}}$ son un producto directo de la $p$-ádico enteros $\mathbb{Z}_p$ sobre todos los números primos $p$, que es, en cierto sentido, la correcta salvamento de su conjetura.

Answer 3

Cada elemento de la suma directa tiene un número finito de orden. Para ver esto, observe que un elemento de la suma directa es una secuencia de un número finito distinto de cero elementos, y en la coordenada $n$ el elemento es menor que $p_n$ ($n$- ésimo primo).

Deje $\bar a= \langle a_i\mid i\in\Bbb N\rangle$ ser un elemento, y deje $a_{k_1},\ldots,a_{k_n}$ ser su no-cero de coordenadas. Tome $m$ $\operatorname{lcm}(k_1,\ldots,k_n)$ entonces tenemos que $m\cdot\bar a$ se $\bar 0$, la de secuencia cero, ya que para cada $a_{k_i}$ tenemos algunos $t_i$ tal que $m\cdot a_{k_i}=t_i\cdot k_i\cdot a_{k_i}\equiv 0\pmod{k_i}$.

Así que no sólo la suma directa no es isomorfo, no hay ninguna incrustación de $\Bbb Z$ en la suma directa o viceversa, ya que ningún elemento de la $\Bbb Z$ tiene un número finito de orden y ningún elemento de la suma directa tiene un infinito de orden.

Answer 4

Y, después de los buenos puntos en los comentarios y otras respuestas, hay algo sucediendo aquí... la proyectiva límite de los cocientes $\mathbb Z/n$ es el producto de todos los p-ádico enteros como p varía con el paso de los números primos. :)