Todo espacio compacto es una imagen continua de un espacio compacto de Moscú.

Question

Desde WikiPedia ,

todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor.

y en Grupos topológicos y estructuras relacionadas Ej. 6.3.a.

todo espacio compacto es una imagen continua de un espacio compacto de moscú.

1. ¿Cómo podemos demostrar que todo espacio compacto es una imagen continua de un espacio compacto de Moscú?
2. ¿El conjunto de Cantor es un espacio de Moscú?

Gracias.

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Un espacio $X$ se llama Moscú si para cada subconjunto abierto $U$ de $X$ el cierre de $U$ en $X$ es la unión de una familia de $G_{}$ -subconjuntos de $X$ .

Answer 1

Esta es una forma de responder a sus preguntas:

1. Se dice que un espacio es extremadamente desconectado si el cierre de todo conjunto abierto es abierto. Los espacios extremadamente desconectados son espacios de Moscú. La compactación de Čech-Stone $\beta D$ de un espacio discreto $D$ es extremadamente desconectado y, por tanto, un espacio moscovita compacto. Ahora dejemos que $X$ sea compacto y que $X_\delta$ sea el conjunto $X$ dotado de la topología discreta. Entonces el mapeo de identidad $X_\delta \to X$ es continua y suryente y por la propiedad universal de la compactificación de Čech-Stone se extiende a una función continua y suryente $\beta X_\delta \to X$ . Esto demuestra que todo espacio compacto $X$ es (canónicamente) la imagen continua de un espacio compacto de Moscú.

2. Como alternativa a los argumentos sugeridos en los comentarios, observe que en un espacio métrico los conjuntos cerrados son $G_\delta$ -por lo que el cierre de un conjunto abierto es un $G_\delta$ -y, por tanto, los espacios métricos son espacios de Moscú. Como el conjunto de Cantor es un espacio métrico, es un espacio de Moscú.