para mostrar $X$ está desconectado

Question

Me preguntaron en el examen para mostrar $X=\{(p_1,\dots,p_n):p_i\in\mathbb{Q}\}$ está desconectado.

Pero esta es una pregunta válida, ya que no se menciona a ninguna madre en el espacio, de todos modos yo asumía que me pidió que muestran que $X$ se desconecta en $\mathbb{R}^n$

$\mathbb{Q}$ se desconecta en $\mathbb{R}$, aquí es uno de desconexión $$A_1=(-\infty,\sqrt{2})\cap \mathbb{Q}, A_2=(\sqrt{2},\infty)\cap\mathbb{Q}$$

Debo tomar $A_1\times A_2\dots\times A_n$ para la muestra de la desconexión de $X$$\mathbb{R}^n$?

Gracias por el debate y ayudar.

Answer 1

La ruta más rápida es, probablemente, tenga en cuenta que la proyección en la primera coordenada es un continuo surjection en los racionales. Con lo que el espacio no se puede conectar porque se ha desconectado imagen continua.

Answer 2

Sugerencia: para$n=2$$A_1\times \Bbb Q$$A_2\times\Bbb Q$.

Claramente, $X$ puede ser dotado de una topología discreta (que a menudo es natural que los contables de espacios), pero la desconexión del curso es trivial. Por eso supongo que tienes razón, suponiendo que la topología heredada de $\Bbb R^n$

Answer 3

Puedes probar a utilizar los siguientes útiles:

Reclamo: Un espacio topológico $\,X\,$ está desconectado iff existe un continuo surjective función de $\,X\to\{0\,,\,1\}\,$ donde $\,\{0\,,\,1\}\subset\Bbb R\,$ obtiene el heredado de la topología euclidiana (y, por lo tanto, es un espacio discreto)

Bien, en su caso, usted podría intentar

$$f:X\to\{0,1\}\;,\;\;f(p_1,\ldots,p_n):=\begin{cases}0& ,\;\;\;p_1\in A_1:=(-\infty\,,\,\sqrt 2)\cap\Bbb Q\\{}\\1& , \;\;\;p_1\in A_2:=(\sqrt 2\,,\,\infty)\cap\Bbb Q\end{cases}$$

Asumiendo, por supuesto, la topología en $\,X\,$ es el heredado de uno de los euclidiana uno en $\,\Bbb R^n\,$

== Para todos los que lo hicieron leer esta respuesta antes y los comentarios de abajo: yo estaba equivocado, Stefan fue a la derecha y ahora la respuesta es corregido.

Answer 4

SUGERENCIA,nos conisider $n=2$. $ A=(-\infty,\sqrt2)\times (-\infty,\sqrt2)\cap\mathbb{Q}\times\mathbb {Q}$ $=$$ (-\infty,\sqrt2]\times (-\infty,\sqrt2]\cap\mathbb{Q}\times\mathbb {Q}$, a partir de esto podemos decir $A$ es clopen conjunto.