Complementarias, conjuntos convexos en $\Bbb R^n$

Question

¿Es cierto o falso?

Si $A\subset \Bbb R^n$ es convexo y $\Bbb R^n\setminus A$ es convexa $A=\emptyset$, $A=\Bbb R^n$ o $\partial A$ es un hyperplane.

Recuerdo vagamente esta hecho desde la universidad, pero no estoy seguro de si es cierto o no. (Mis entrañas me dicen que es cierto, pero...)

Consejos o referencias son bienvenidos.

Para probarlo yo mismo, he considerado dos puntos de $P\in A$$Q\in\Bbb R^n\setminus A$. Entonces no es un "primer" punto de $X$ ($\sup$ puede ser utilizado para formalizar esta idea) en el segmento de $PQ$ tal que $PX$ no $A$. (O un "último" punto de $X$ tal que $PX$$A$). Pero todavía tengo que demostrar que todos estos puntos de $X$ están en un hyperplane.

Es cierto infinitas dimensiones de espacios vectoriales?

Answer 1

Su reclamo se sigue del siguiente bien conocida propiedad de conjuntos convexos:

Deje $A\subset\mathbb{R}^n$ ser un conjunto convexo y $x\in \partial A$. Entonces existe un hyperplane $H$ tal que $x\in H$ $A$ se encuentra en la mitad de los espacios para $H$.

Google: Hyperplane teorema de separación.