Integración por partes para medida general?

Question

Deje $\mu$ ser una medida general, supongamos $f,g$ tiene soporte compacto en $\mathbb{R}$, cuando se hace la integración por partes de la fórmula mantenga $$\int f'g d\mu = - \int g'fd\mu?$$ Sé que en general esto es falso, podemos tomar $\mu$ a ser admitidos en un punto, decir $0$, entonces no es necesariamente cierto que $$f'(0)g(0) = -g'(0)f(0).$$

Si $\mu$ es absoluta continua w.r.t. Medida de Lebesgue, tenemos $\frac{d\mu}{dx} = h$ $$\int f'gd\mu = \int f'gh dx = -\int f(gh)'dx$$ donde $(gh)'dx$ podría ser una medida. pero no podemos recuperar la forma $\int g'fh dx$.

Muchas gracias!

Answer 1

Estás en lo correcto. Una medida que no tiene ninguna razón para conservar esta propiedad. Como cuestión de hecho, las únicas medidas que absolutamente continua respecto de Lebesgue medida que conservan esta propiedad para todos los $f,g \in C^1_c(\Bbb{R})$ se ajusta la escala de medidas de Lebesgue.

Deje $g\neq 0$. Si $(gh)'=g'h$, $gh'+g'h=g'h$ o $ gh'=0$, lo que implica la $h'=0$$h=c$.

O si la pregunta es, "dadas dos funciones específicas, $f,g$, no existe $\mu$ de manera tal que esta fórmula tiene?". La respuesta es sólo si $f$ o $g$ es idéntica $0$.