Podemos probar la existencia de la inversa de Laplace mediante la representación de Riesz teorema. En primer lugar, vamos a definir la forma bilineal $B[ \ , \ ]$ $H_0^1(\Omega)$ como sigue:
$$ B[u, v] = \int_{\Omega} \sum_i \partial_{x_i} u \partial_{x_i}v.$$
Es posible probar un par de desigualdades:
$|B[u,u]| \leq || u ||^2_{H_0^1(\Omega)} $
$|| u ||_{H_0^1(\Omega)}^2 \leq c B[u, u]$ para un seleccionados adecuadamente el valor de $c$.
La primera desigualdad es obvia. El segundo no es mucho más difícil - solo requiere de algunos de tocar el violín alrededor con la desigualdad de Poincaré.
Estas desigualdades nos dicen que la norma asociada al producto interior $B[ \ , \ ]$ es equivalente a la original de Sobolev norma $|| . ||_{H_0(\Omega)}^1$. Por lo tanto, desde el $H_0^1(\Omega)$ es completa con respecto a la Sobolev norma, que debe ser completado con el respeto a $B[\ , \ ]$! Como consecuencia, podemos legítimamente aplicar la representación de Riesz teorema de la $H_0^1(\Omega)$ $B[ \ , \ ]$ del producto interior en lugar de la Sobolev interior del producto.
Ahora vamos a utilizar la representación de Riesz teorema de esta manera deducir que el operador Laplaciano tiene una limitada inversa. Para ser más precisos, queremos mostrar que, para cada $g \in L^2(\Omega)$, no existe un único $u_g \in H_0^1(\Omega)$ tal que
$$ B[u_g, v ] = \int_{\Omega} g v \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm for \ all \ } v \in H_0^1(\Omega) $$
y por otra parte, la asignación de
$$ g \mapsto u_g $$
es un delimitada lineal mapa de$L^2(\Omega)$$H_0^1(\Omega)$. [Si desea comprobar esto por sí mismo el uso de representación de Riesz, usted debe pensar en la $v \mapsto \int_\Omega g v $ como un funcional lineal en $H_0^1(\Omega)$ cuya norma no es mayor que $|| g ||_{L^2(\Omega)}$...]
Esta $u_g$ es una solución para la ecuación de $ - \nabla^2 u = g$ en el débil sentido. Así que si estamos de contenido para utilizar la notación $\mathcal L$ $ - \nabla^2$ operador, bien podemos utilizar la notación $\mathcal L^{-1}$ para nuestros recién construido delimitada operador $L^2(\Omega) \to H_0^1(\Omega)$ envío de $g \mapsto u_g$.
Después de haber definido nuestro operador inverso $\mathcal L^{-1} : L^2(\Omega) \to H_0^1(\Omega)$, ahora voy a discutir funciones propias. Vamos a definir una débil eigenfunction del Laplaciano $\mathcal L$ (correspondiente al autovalor $k$) $u \in H_0^1(\Omega)$ tal que
$$ B[u, v] = k \int_\Omega u v \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm for \ all \ } v \in H_0^1(\Omega) $$
Podemos reformular esta definición en términos de nuestro operador inverso $\mathcal L^{-1}$: Una función de $u \in H_0^1(\Omega)$ es un débil eigenfunction de $\mathcal L$ con autovalor $k$ si y sólo si
$$ u = k \left( \mathcal L^{-1} (u)\right),$$
Observe que el $u$ en el lado derecho de esta ecuación se considera como un elemento de $L^2(\Omega)$, mientras que el $u$ sobre la mano izquierda se considera como un elemento de $H_0^1(\Omega)$. Esto tiene sentido, porque $H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)$
Ahora voy a masajear esta definición en una forma en la que podemos aplicar el teorema espectral. Vamos a utilizar el símbolo $\iota$ para denotar la inclusión $H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega)$. Si usted piensa acerca de ello, el párrafo anterior puede ser escrita así: Una función de $u \in L^2(\Omega)$ es un débil eigenfunction de $\mathcal L$ (y, en particular, está contenida dentro de $H_0^1(\Omega) \subset L^2(\Omega)$) iff satisface
$$ u = k \left( (\iota \circ \mathcal L^{-1}) (u)\right).$$
Pero $\iota : H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega)$ es un operador compacto por Rellich, y $\mathcal L^{-1} : L^2(\Omega) \to H_0^1(\Omega)$ es un operador acotado, por lo que la composición $$\iota \circ \mathcal L^{-1} : L^2(\Omega) \to L^2(\Omega)$$ is also compact. We can therefore apply the spectral theorem to $\iota \circ \mathcal L^{-1}$ to deduce that the weak eigenfunctions of $\mathcal L$ form a complete orthogonal basis for $L^2(\Omega)$.
Por el momento, estas funciones propias son sólo débiles funciones propias, que viven en $L^2(\Omega)$, y obedeciendo sólo a la débil condición de $B[u, v] = k [u , v]$$v \in H_0^1(\Omega)$. Sería bueno si pudiéramos demostrar que estas funciones propias son genuinos suave funciones en $C^\infty(\Omega)$ obedeciendo $\mathcal L u = k u$! Una solución obvia sería la de tratar de argumentar que, dado que el operador de Laplace $\mathcal L$ implica la diferenciación de dos veces, cualquier solución débil $u$ $\mathcal L u = f$ $f \in H^m(\Omega)$debe ser automáticamente en $H_{\rm loc}^{m + 2}(\Omega)$. Este tipo de argumento hace realmente el trabajo, aunque no recuerdo los detalles técnicos muy bien, ni me acuerdo perfectamente de los supuestos que necesitamos. Usted puede encontrar el texto completo de la declaración en Evans, el capítulo 6.3, la "Regularidad".
En nuestro caso, $u$ es una solución débil a $\mathcal L u = k u$. Así que el hecho de que $u$ $L^2(\Omega)$ implica que el$u$$H_{\rm loc}^2(\Omega)$, lo que implica que $u$$H_{\rm loc}^4(\Omega)$, lo que implica que $u$$H_{\rm loc}^6(\Omega)$, etc. Por lo tanto, $u$ $H_{\rm loc}^m(\Omega)$ todos los $m$. Pero luego, por las desigualdades de Sobolev, $u $ debe $C^\infty(\Omega)$, y somos felices.
