Son estas funciones Riemann integrables en $[0,1]$ el uso de este teorema?

Question

La pregunta es si el teorema de "delimitada la función $f$ $[a,b]$ que es continua en a $(a,b]$ es Riemann integrable" para explicar si estas funciones son Riemann integrables:

a) $\sin^2(\frac 1x)$

b) $\frac 1x\cdot\sin(\frac 1x)$

c) $\ln x$

Creo que la respuesta es Sí, No, No. Para la primera, la función está claramente delimitado y continua en $(0,1)$. Para el segundo, no estoy del todo seguro, ya que la función es continua en $(0,1]$ pero es limitada? La última la función es acotada.

Podría alguien confirmar y que me explique más claramente? Muy apreciada!

Answer 1

$\frac{1}{x} \sin(1/x)$ es no acotada: considere la secuencia de puntos de $x_n=\frac{1}{\pi/2+2n\pi}$ y aviso de $\sin(1/x_n)=1$.

También, en todas de estos debe ser un poco cuidadoso: es necesario dar algunas alternativas definición de los mismos en $x=0$ en orden a la pregunta de integrabilidad de Riemann para hacer sentido. Como su teorema de la muestra, la elección de este valor es de ninguna consecuencia, pero aún así, el concepto correcto de la integrabilidad de Riemann está restringido a funciones cuyo dominio es un cerrado delimitado intervalo.

Answer 2

Sugerencia: Compruebe Lebesgue criterio de integrabilidad de Riemann.