Es de un número finito de orden endomorfismo una rotación?

Question

Deje $V$ ser un real $2$-dimensional espacio vectorial, y $T\colon V\to V$ ser un endomorfismo tal que $$ T^q = Id \qquad \textrm{y} \qquad T^j\no= Id\quad\textrm{si}\ 0<j<q, $$ donde$T^0 = Id$$T^{j-1}\circ T = T^{j}$. Por otra parte, vamos a $T$ ser de la orientación de la preservación.

Podemos decir que existe una base $B$ $V$ tal que $T$ es la rotación de $\pm\frac{2\pi}{q}$, que es $$ [T]_B = \begin{bmatrix}\cos(\frac{2\pi}{q}) & \pm\sin(\frac{2\pi}{q})\\ \mp\sin(\frac{2\pi}{q}) & \cos(\frac{2\pi}{q})\end{bmatrix}? $$

Answer 1

No. Tome $$(x, \, y) \mapsto (x, \, -y).$$

Answer 2

Observe que el polinomio mínimo $m(x)$ $T$ es un polinomio real de grado $2$ y se divide $x^q - 1$. Usando la condición de que $\det(T) > 0$, podemos encontrar fácilmente que

$$ m(x) = (x - \omega)(x - \bar{\omega}) = x^2 - 2\cos (\alpha)x + 1 $$

para algunos complejos cero $\omega = e^{i\alpha}$$\omega^q - 1$. Por lo $T$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$. Deje $u$ ser un complejo autovector de a $T$ correspondiente a $\omega$ y escribir $u = v + iw$ real vectores $v$$w$. A continuación, tanto en $v$ $w$ no son cero debido a que $ T\bar{u} = \overline{Tu} = \overline{\omega u} = \bar{\omega}\bar{u} $ y, por tanto, $\{u, \bar{u}\}$ $\mathbb{C}$- linealmente independientes.

$$ Tv = \operatorname{Re}(Tu) = \operatorname{Re}(\omega u) = \cos(\alpha)v - \sin(\alpha)w $$

y

$$ Tw = \operatorname{Im}(Tu) = \operatorname{Im}(\omega u) = \sin(\alpha)v + \cos(\alpha)w. $$

Por lo tanto, $B = \{v, w\}$ es una base de $V$ tal que

$$ [T]_B = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}. $$

(O simplemente invocar la verdadera forma normal de Jordan de a $T$.)

Answer 3

Nota los siguientes:

1. El factor determinante es real y satisface $1=\det(\mathrm{Id})=\det(T^q)=\det(T)^q$, por lo $\det(T)=\pm1$. Debido a $T$ es la orientación preservar tenemos $\det(T)=1$.
2. Algo similar vale para los valores propios, es decir,$1=\lambda_i(\mathrm{Id})=\lambda_i(T^q)=\lambda_i(T)^q$, pero tienen derecho a ser complejo. Por lo tanto, los valores deben ser raíces de la unidad, es decir,$\lambda=\exp(2\pi i \cdot p/q)$. Debido a $\det(T)=\lambda_1\lambda_2$,$\lambda_1=\lambda_2^{-1}=\bar\lambda_2$, es decir son los conjugados de cada uno de los otros. Podemos escribir $\lambda_\pm=\exp(\pm2 \pi i\cdot p/q)$.
3. Un ejemplo de una matriz con estos autovalores está dada por $$\begin{pmatrix}\lambda_+ &0\\0& \lambda_-\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_+ &0\\0&\bar \lambda_+\end{pmatrix}$$ y es bien sabido que este tipo de matriz es equivalente a la siguiente real de la matriz, dado $\lambda_+=\sigma+i\tau$: $$\begin{pmatrix}\sigma&\tau\\-\tau&\sigma\end{pmatrix}.$$

El resto se sigue del hecho de que

$$\lambda_\pm=\exp(\pm 2\pi \cdot p/q)=\cos( 2\pi \cdot p/q)\pm i\sin( 2\pi \cdot p/q).$$