Divisores de cero.

Question

Deje $\mathbb{C}$ ser el campo base. Supongamos $C \subset \mathbb{P}_2$ es un nonsingular proyectiva de la curva de grado $d > 3$. Debe ser el caso que $D \in \text{Div}(C)$ es el divisor de un diferencial en $C$ que en todas partes es regular si y sólo si $D = C \cdot E$ donde $E \subset \mathbb{P}_2$ es una curva de grado $d-3$ (posiblemente definida por un polinomio con la repetición de los factores)?

Answer 1

Sí, debe ser necesariamente el caso.

Presentamos dos lemas.

Lema 1. Deje $C \subset \mathbb{CP}^2$ ser nonsingular de grado $d$ género $(d-1)(d-2)/2$, y supongamos que $\omega \in \Omega_{K_C/k}$ $($que vamos a llamar a $\Omega(C)$ a partir de ahora en$)$ no es cero. Entonces$$\deg(\text{div}(\omega)) = d(d-3) = 2g - 2 = -\chi(C).$$$($Ver aquí para una definición de $\Omega_{K_C/k}$.$)$

Prueba. Supongamos $C$ está definido por $F(x, y, z) = 0$, por lo que el $C \cap \{z = 0\}$ es finito. También podemos asumir que no hay puntos en $C \cap \{z = 0\} \cap \{F_y = 0\}$. Esto es suficiente para mostrar que $$\deg(\text{div}(dx)) = d(d-3).$$Suppose $p = [x_0, y_0, 1] \en C'$ $($the affinization$)$. Then $v_P(dx) = 0$ whenever $f_y \neq 0$. If $f_y = 0$, then $x - x_0$ is not a uniformizing parameter, but $y - y_0$ is a uniformizing parameter. Hence, $$f_x\,dx + f_y\,dy = 0 \implies dx = -{{{f_y}\,dy}\over{f_x}},$$so$$v_p(dx) = v_p(f_y) - v_p(f_x) + v_p(dy) = v_p(f_y),$$since the latter two terms must be zero. This is$$\text{dim}\, \mathcal{O}_p(C)/(f_y) = \dim \mathbb{C}[x - x_0, y - y_0]_{x - x_0,\,y - y_0}/(f, f_y) = I_{(x_0,y_0)}(C, f_Y)$$$($donde nos abuso de notación mediante el uso de $f_Y$ para denotar la curva que traza$)$.

¿Qué acerca de los puntos en el infinito que nos cortan cuando nos affinized? Supongamos $p = [x_0, y_0, 0] \in C$. Sabemos que$$xF_x + yF_y + zF_z = ,$$hence$$x_0F_x(p) + y_0F_y(p) = 0.$$Hence,$$y_0 = -{{x_0F_x(p)}\over{F_y(p)}}.$$Therefore, $x_0 \neq 0$.

Ahora miramos la affinization lanzando $x = 0$ en lugar de tirar a $z = 0$, así que tome $g(y, z) = F(1, y, z)$. Sólo tenemos que mirar el punto de $(1, y_0/x_0, 0)$. El uniformizing parámetro aquí es $z$ desde $F_y \neq 0$. Pero $z$ es $1/x$ $($desde el otro affinization coordinar parche$)$, por lo que $$dz = -{{dx}\over{x^2}} \implies dx = -{{dz}\over{z^2}},$$so $$v_p(dx) = -2$$ en este punto.

Por lo tanto,$$\deg(\text{div}(\omega)) = \deg(F_y \cdot C) - \deg(2L \cdot C),$$where $L = \{z = 0\}$, so by Bézout's Theorem, this is$$d(d-1) - 2d = d(d-3).$$

$$\tag*{$\square$}$$

Lema 2. Cualquier divisor, en la canónica de la clase puede ser expresado como $G \cdot C - H \cdot C$ donde$$\deg G = k,\text{ }\deg H = k + 3 - d.$$

Prueba. Hacemos los mismos supuestos que la última vez. Considere la posibilidad de $${{Gz^2}\over{HF_y}}\,dx = \omega.$$Then if $L$ is the line $z = 0$, and $M$ is the curve of $F_y$, we have$$\text{div}(\omega) = G \cdot C - H \cdot C + 2L \cdot C - F_y \cdot C + F_y \cdot C - 2 L \cdot C = G \cdot C - H \cdot C,$$donde se utilizó el cálculo de la prueba del Lema 1.

$$\tag*{$\square$}$$

Ahora volvemos al problema original. Si $D$ es el divisor asociado a regular $\omega \in \Omega(C)$, sabemos por el Lema 2, que puede ser expresado como $G \cdot C - H \cdot C$, donde $$\deg G = k,\text{ }\deg H = k + 3 - d.$$We want to show that we can choose $k = d-3$, or equivalently, $\gr H = 0$. But from the proof of Lemma 2, under suitably transformed coordinates, we have that $$\omega = {{Gz^2}\over{HF_y}}dx.$$So if $H$ has a zero which $G$ does not, $\omega$ no es regular, por lo que estamos por hacer.

Por el contrario, si $D = G \cdot C$ donde $\deg G = d- 3$, luego, después de un adecuado transformación proyectiva, $$\omega = {{Gz^2}\over{F_y}}dx$$de hacer el truco por la reversión de la misma lógica.

Answer 2

Yo no estoy seguro de entender tu pregunta, pero la canónica divisor de $C\subset \mathbb P^2$$C\cdot E$, $E$ como usted escribió un general de la curva de grado $d-3$. En el nivel de la invertible poleas: $$K_C=(K_{\mathbb P^2}+C)|_C=\mathcal O_{\mathbb P^2}(-3H+C)|_C=\mathcal O_C(d-3).$$ La palabra clave aquí es la contigüidad de la fórmula.