La prueba de que usted no puede incrustar $\mathbb{P}^2$ a $\mathbb{R}^3$

Question

Sé que tenemos que asumir, por una contradicción. La parte dura es la cosa que no puede hacer y que es mostrar que si no poner la $\mathbb{P}^2$ a $\mathbb{R}^3$ la ruta de los componentes del complemento son dos piezas. Sé que a partir de esto es fácil, contradicción, a continuación, usted sería capaz de orientar $\mathbb{P}^2$, lo cual es imposible ya que contiene una cinta de Moebius.

Nota, si usted no sabe lo $\mathbb{P}^2$ es entonces la esfera con el antipodal de los puntos de igualdad decir, los mismos conguranchy

También, hay un patrón general. Como puede $\mathbb{P}^3$ ser sólo incrustado en $\mathbb{R}^5$

Answer 1

Si usted sabe de homología, a continuación, utilizar la dualidad de Alexander con $\mathbb Z_2$ de los coeficientes. La reducción de la $0$th homología del complemento de $\mathbb{RP}^2$ es isomorfo a $H^2(\mathbb{RP}^2;\mathbb Z_2)\cong\mathbb Z_2$. Eso significa que el complemento ha $2$ de los componentes conectados.

Usted también puede estar interesado en mi respuesta a una pregunta más general.