Combinación de funciones lineales que dan el operador de la derivada de

Question

Deje $D$ ser el operador de la derivada de y $C^\infty$ el conjunto de funciones infinitamente derivable muchas veces.

Aquí $f^n=f\circ f\circ\cdots\circ f\text{, }n\text{ times}$

Se puede demostrar fácilmente que no existe una función lineal $f\in\mathcal{L}(C^\infty)$ tal que $f^2=D$.

Si no estoy equivocada, esto puede ser fácilmente extendido para la no existencia de una función de $f\in\mathcal{L}(C^\infty)$ tal que $\prod f=D$ como un producto finito.

¿Qué se puede decir para un infinito tipo de productos? Cómo puede uno (dis)aprobar la existencia de una función lineal $f\in\mathcal{L}(C^\infty)$ tal que $f^n=D$ ?

Parece raro para mí, pero no he encontrado ninguna manera de demostrarlo.

Answer 1

No pretenden entender la pregunta principal de la "producto infinito", podría comentar sobre el título y el lineal no-existencia de la reclamación. Derivada fraccional es un operador lineal, donde uno puede escribir $D^{\frac{1}{2}}$ funcionales como la raíz cuadrada de la diferenciación operador que cuando se aplica dos veces a una función tendrá el mismo efecto como la diferenciación. (véase, por ejemplo, la "Breve Introducción a las fracciones de Cálculo").