Manera fácil de calcular $Pr[\sum_{i=1}^t X_i \geq z]$

Question

Tenemos un conjunto de $t$ independiente de variables aleatorias $X_i \sim \mathrm{Bin}(n_i, p_i)$. Sabemos que $$\mathrm{Pr}[X_i \geq z] = \sum_{j=z}^{\infty} { n_i \choose j } p_i^j (1-p_i)^{n_i -j}.$$

Pero hay una manera fácil de calcular:

$$\mathrm{Pr}\left[\sum_{i=1}^t X_i \geq z\right]?$$

MIS IDEAS: Esto debe tener que ver algo con la convolución, pero no estoy seguro.

Es más fácil calcular $$\mathrm{Pr}\left[\sum_{i=1}^t X_i \leq z \right]?$$

Lo que pensé que quizá es: $$\mathrm{Pr}\left[\sum_{i=1}^t X_i \leq z \right]=\sum_{j=1}^{z} \mathrm{Pr}\left[\sum_{i=1}^t X_i = z \right]$$ pero esto parece no ser muy duro con $t$ variables aleatorias.

Agradecería cualquier sugerencia y si no escribes una respuesta estoy interesado en si es demasiado difícil o demasiado fácil?! gracias..

Answer 1

Me voy a dar una idea general. Si desea que los detalles, buscar un artículo por Tomas Woersch (aquí).

Así que usted tiene $$ S_m(n) = \sum_{k=0}^{m} \binom{n}{k}x^k = 1 + \binom{n}{1}x +\ldots + \binom{n}{m}x^m\\ \frac{S_m(n)}{\binom{n}{m}x^m} = 1 + \ldots + \frac{\binom{n}{1}x}{\binom{n}{m}x^m} + \frac{1}{\binom{n}{m}x^m} = 1 + \ldots a_{m-1}x^{1-m} +a_m x^{m} $$ Ahora, usted necesita hacer lo siguiente: obtener la ración de los coeficientes binomiales I denota con $a_k$ y, a continuación, aproximado, a continuación, el uso de Stirling enfoque. Utilice el hecho de que $$(1 - o(1))\sqrt{2 \pi n} (\frac{n}{e})^n \leq n! \leq (1+o(1))\sqrt{2 \pi n} (\frac{n}{e})^n$$