Demostrando la clase de número de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ 2 uso de Irlanda-Rosen enlazado

Question

En este MO respuesta, Keith Conrad estados que puede utilizar el método de la prueba de la finitud de la clase número en Irlanda & Rosen para demostrar que la clase de número de $h_K=2$, cuando se $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$. El punto es evitar el uso de Minkowski del obligado.

Me gustaría tener algunas pistas en cuanto a cómo hacer esto (ya que esto es parte de la tarea en cuestión).

El esquema de Irlanda & Rosen de la prueba es la siguiente (páginas 178-179):

Lema: existe un entero positivo $M_K$ tal que para todo $\alpha,\beta\in \mathcal{O}_K$, $\beta\not=0$, hay un número entero $t$, $1\leq t\leq M_K$ y un elemento $\omega \in \mathcal{O}_K$ tal que $\lvert N(t\alpha-\omega \beta) \rvert < \lvert N(\beta)\rvert$.

Si entiendo que la prueba correctamente, $M_K$ es de la siguiente manera:

Deje $\omega_1,\dots, \omega_n$ integrante de base para $K$. Deje $C=\prod_i \sum_j \lvert \sigma_i(\omega_j) \rvert$ donde $\sigma_i$ son $n$ $\mathbb{Q}$-monomorphisms $K\to \mathbb{C}$.

Deje $m> \sqrt[n]{C}$ ser un número entero. Luego nos vamos a $M_K=m^n$. $\square$

Ahora la finitud del número de clase de la siguiente manera, demostrando que todos los no-cero ideal es equivalente a un ideal que contiene a $M_K!$. Ya que estos ideales son en bijection con los ideales de $\mathcal{O}_K/M_K!\mathcal{O}_K$ que es un anillo finito, hay un número finito de ideales de las clases.

Cómo utilizar esto para probar que $h_K=2$ al $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$?

Estoy recibiendo $M_K=16$ utilizando el estándar integral base $\{1, \sqrt{-5}\}$: de hecho, $C=(1+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})\approx 10,4$,$\sqrt{C}\approx 3,2$, por lo tanto, adoptamos $m=4$, de donde $M_K=4^2=16$.

Esta $M_K$ no parece útil...

Answer 1

Ha. Voy a dar una conferencia en exactamente esta próxima semana. Si te encuentras en Sídney, la caída en el.

De todos modos, el enfoque que voy a usar, involucra el concepto de la norma de un ideal, pero tal vez se puede adaptar a lo que tiene. Si $A$ es un ideal de a ${\cal O}_K$ $N(A)$ es la cardinalidad de a ${\cal O}_K/A$. Si $t=[\sqrt{N(A)}]$ hay $(t+1)^2$ distintos números de la forma$b_1+b_2\sqrt{-5}$$0\le b_i\le t$. Ahora$(t+1)^2\gt N(A)$, por lo que dos de estos números deben ser congruentes mod $A$, lo $A$ contiene un número distinto de cero $\alpha=a_1+a_2\sqrt{-5}$$|a_i|\le t$. A continuación,$N(\alpha)=a_1^2+5a_2^2\le6t^2\le6N(A)$.

Creo que el $6$ aquí puede ser una mejora en el $16$ que tienes, aunque no estoy seguro de que me vea donde su $16$ proviene.

De todos modos, desde aquí se puede mostrar la información de cada distinto de cero ideal es equivalente a un ideal de norma en la mayoría de las $6$. A continuación puede encontrar todos los ldeals de la norma en la mayoría de las $6$ --- no hay de que muchos de ellos --- y usted puede demostrar que todas las no principales son equivalentes, y listo.