tl;dr (Demasiado Largo Para Leer):
¿Qué es la intuición/conceptual de la idea de por qué Rudin se utiliza el número:
$$ k = \frac{y^n-x}{n y^{n-1}} $$
en su prueba y no a algún otro número? Parece que ese número no es al azar, así que ¿cómo podía haber llegado con él?
Mi intento:
Yo estaba tratando de demostrar el teorema 1.21 desde Rudin del análisis real del libro por mi cuenta, sin mirar Rudin la prueba. La forma en que me trató de demostrar que era para tratar de demostrar lo que parecía verdadero de mi ya recogidos intuición sobre los números reales antes de empezar el estudio de análisis real. Así que saqué un montón de imagen que me llevan a pensar en la definición de $E = \{ \bar y \in R_{>0} : \bar y < x^{1/n} \}$:
Por lo tanto, yo sabía que $E = \{ \bar{y} \in R_{>0} : \bar y^n < x \}$ es lo mismo que $E = \{ \bar y \in R_{>0} : \bar y < x^{1/n} \}$. Así que era obvio que lo que había que demostrar era que la $\alpha = supE = y = x^{1/n}$ (también la razón por la definición de conjuntos como que es porque probablemente necesitemos utilizar la menor cota Superior de (LUB) propiedad de su primo una de las pocas cosas que se supone que debe saber acerca de los análisis hasta ahora). Por lo tanto, procedo a mostrar $E$ es acotado y no vacío de modo que yo era la garantía de que el sup existido desde que asumió la menor cota Superior de (LUB) propiedad (un.k.una. el axioma de completitud).
Entonces pensé que desee $y = \alpha$, por lo que una opción era tratar de mostrar $y < \alpha$ $y > \alpha$ son falsas, así que por la tricotomía $y=\alpha$. Debido a que no tenía acceso directo a $y$ me decidí a tomar la misma estrategia excepto con $y^n = x$ en lugar de $y$ $\alpha^n$ en lugar de $\alpha$. Intuitivamente pensé, bueno supongamos $\alpha^n < x$$ x < \alpha^n $. La primera es demasiado pequeño, así que espero que se debe llevar a algunos de contradicción y tal vez mostrar $\alpha < y$ es falso. Del mismo modo que el otro $ x < \alpha^n $ debe ser demasiado grande, de alguna manera. Entonces tal vez podemos utilizar tricotomía para obtener $\alpha^n = x$, lo que completa la prueba.
Hice el intento de la primera $\alpha^n < x$. La única otra cosa que yo sabía acerca de $\alpha$ que $\forall \bar y \in E, \bar y^n < x$. Entonces decidí combinar tanto la ecuación (desde que se insinuó a utilizar $a^n - b^n$ porque vi que la identidad en la soln, cuando reviso mi solución que E es acotado y no vacío):
$$ \alpha^n - \bar y^n < x - \bar y ^n < 0$$
entonces, debido a la sugerencia (que probablemente no se había dado cuenta de que necesitaba usar) yo era muy afortunado y decidió restar $\bar y^n$ desde ambos lados (aviso que si me hubiera decidido a restar por $\alpha^n$ no ha trabajado):
$$ \alpha^n - \bar y^n = (\alpha - \bar y)\left(\sum_{0\leq i+j \leq n-1} \bar y^i \alpha^j \right) = (\alpha - \bar y)K < 0$$
donde me di cuenta de que $K > 0$ ya que cada elemento de E es mayor que cero, y así es por lo menos su límite superior $\alpha$. Por lo tanto $K > 0$ y deshacerse de él me pone:
$$ (\alpha - \bar y) < 0 \implies \alpha < \bar y$$
lo cual es obviamente falso, ya que implicaría que $ \alpha$ no es un límite superior. Por lo tanto $\alpha^n < x$ es falso.
Ahora suponga $x < \alpha^n $. Uno no puede utilizar el mismo argumento como en mi anterior intento porque en este momento estamos tratando de crear un elemento que es un límite superior más pequeño que el $\alpha$ y no queda claro cómo los elementos de formulario $E$ son útiles.
Su claro para mí que tenemos que elegir una $h$ tal forma que:
$$ x < (\alpha - h)^n < \alpha^n$$
Me han dado un intento (ver al final de mi pregunta) pero soy incapaz de probar el resultado deseado, no importa cuánto puedo jugar con el álgebra y los hechos conocidos que tengo.
Por lo tanto, mi pregunta es: ¿cómo Rudin llegado a la siguiente:
$$k = \frac{y^n-x}{n y^{n-1}}$$
a partir de su explicación parece que acaba de salir de un sombrero. Estoy seguro de que si me conecté me gustaría ver que "funciona" sin embargo, yo quería saber/ver cómo llegar con ella a mí mismo.
Del mismo modo, no veo cómo/por qué le ocurrió esto:
$$h < \frac{x - y^n}{n(y+1)^{n-1}}$$
parece que no es siquiera necesario considerando mi primera prueba o argumento, pero supongo que se debe utilizar la misma idea teniendo en cuenta que parece que usan la misma identidad $b^n - a^n = (b-a)(b^{n-1}+b^{n-2}a+ \cdots + b a^{n-2} + a^{n-1})$.
Le importa a alguien para compartir lo que es el truco que me perdí? Hay alguna manera de entender cómo se hubiera venido con el uso que? ¿Hay alguna idea conceptual para la prueba que él no hizo explícito de que me perdí?
Estoy con la esperanza de obtener un resultado más satisfactorio de prueba que sentirse he jugado con símbolos hasta que me obligó el papel que me diga la verdad. Parece que me perdí algunas ideas, porque incluso con las sugerencias (como el uso de la identidad) no ceder me de una solución.
Lo que he intentado:
Si tenemos:
$$ x < \alpha^n$$
a continuación, al menos intuitivamente, que debe implicar que debe haber algún elemento $y_{BAD}$ más pequeño que el nuestro supremum $\alpha$ que es todavía un límite superior (esta intuición es porque vamos, en el supuesto de que $\alpha^n = x \iff \alpha = x^{1/n}$). Por lo tanto, parece razonable tratar de disminuir el $\alpha$ la cantidad correcta $h$ tal forma que:
$$ x < (\alpha - h)^n < \alpha^n $$
entonces a partir de la $h$ es cierta distancia que bajamos de $\alpha$ probablemente no necesita ir más allá de $\alpha$, por lo que parece razonable exigir $0 < h < \alpha$. Con lo que hemos usando álgebra:
$$ x < (\alpha - h)^n = (\alpha - h)\left( \alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}h + \dots + \alpha h^{n-2} + h^{n-1} \right) = (\alpha - h) K < \alpha^n $$
la razón por la que hizo que la factorización es así que podemos esperar obtener algunos de la desigualdad de la $h$ (intuitivamente, creo que estamos tratando de hacer las $h$ el tema para que pueda elegir el más adecuado para obtener la contradicción que necesitamos). Por lo tanto, vamos a tratar de eliminar todas las desagradables exponentes con $h$ asumiendo $ h < \alpha$ (de lo contrario $\alpha$ disminuye por demasiado):
$$ K = \alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}h + \dots + \alpha h^{n-2} + h^{n-1} < n \alpha^{n-1}$$
por lo tanto, permite conectarlo en:
$$ x < (\alpha - h) K < \alpha^n $$
después de conectar la desigualdad y dejando $h$ solos y algunos de álgebra me he saltado yo tengo:
$$ \alpha - \frac{ \alpha^n }{K} < h < \alpha - \frac{x}{n \alpha^{n-1}}$$
por desgracia yo no no he podido conectar $K < n \alpha^{n-1}$ de éxito a ambos lados así que se quedó atascado con el de arriba (que sigue en términos de $h^j, j>1$) que todavía, desgraciadamente, tiene de alto orden en términos de $h$...tan cerca que se siente... (nota: también he intentado más cosas, pero sería ridículo poner todo en aquí).
así que me siento consiguió algunas de las ideas principales:
- Requerir la restricción $x < (\alpha - y)^n < \alpha^n$$x<\alpha^n$$h>0$.
- el uso de $(\alpha - h)^n = (\alpha - h)\left( \alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}h + \dots + \alpha h^{n-2} + h^{n-1} < n \alpha^{n-1} \right)$ conseguir $h$ solo.
- Utilice el límite superior en $K < n \alpha^{n-1}$ para eliminar los términos de orden superior de $h$ que son molestas (ya que estamos suponiendo que no sabemos cómo tomar raíces). es decir, (\alpha - h)K < (\alpha - h)n \alpha^{n-1}
esos parecen ser los ingredientes principales, pero cuando traté de ponerlos juntos parecía que me faltaba algo, porque jugando con el álgebra no conducir a la respuesta. Alguien sabe lo que es?
