Cómo encontrar periodo de una función dada su ecuación funcional?

Question

Si un periódico de la función satisface la ecuación de $\sqrt{3}f(x) = f(x-1) + f (x+1) $ para todos los verdaderos $x$ demostrar que el periodo fundamental de la función es $12$.

Aquí periodo fundamental significa que el más pequeño de los reales positivos para que la función se repite su valor para todos los $x$.

Traté de sustitución de $x$$x \pm 1$, a continuación, tratar de encontrar $f(x)$, en términos de otros, pero siempre terminan con él en términos de la suma de las otras dos argumentos en la función por ejemplo $f(x-2)$ + $f (x+2)$ etc.

Por favor proporcione un método general y sobre todo dar en el proceso de pensamiento o razonamiento para todos los pasos, es decir por qué están haciendo estos pasos o ¿qué te llevó a pensar que hacer estos pasos le daría el período de f.

Answer 1

No sé en general, hay una manera de resolver este tipo de ecuaciones funcionales, pero satisface la relación recursiva, de manera que uno puede aplicar el conocimiento de que. Aquí demuestro que $12$ es el período de $f$ que se cumple la relación dada. De hecho, vamos a $x\in \mathbb{R}$ ser fijo. Entonces $a(x, 0) := f(x)$, $a(x, 1):=f(x+1)$ y $a(x, n) := \sqrt{3} a(x, n-1) - a(x, n-2)$$n\geq2$. Este es un lineal homogénea de la relación recursiva, por lo que su n-ésimo término puede ser explícita. Las raíces de la characheristic polinomio $z^2 - \sqrt{3} z + 1$ $\frac{\sqrt{3} + i}{2} = e^{\frac{\pi i}{6}}$, $\frac{\sqrt{3} - i}{2} = e^{-\frac{\pi i}{6}}$. Por lo $a(x, n) = c_1 e^{\frac{n\pi i}{6}} + c_2 e^{-\frac{n\pi i}{6}}$ donde $c_1$ $c_2$ se determina a partir de $a(x, 0)$$a(x, 1)$. Desde $f(x+n) = a(x, n)$ es obvio que $12$ es el período de $f$.

Ahora puedo comprobar que si $f$ no es idéntica $0$, $12$ es el periodo fundamental. Desde $f$ no es idéntica $0$, uno puede encontrar la $x \in \mathbb{R}$ que $f(x) \neq f(x+1)$. Tenga en cuenta que uno puede construir fácilmente $g$ que satisface el dado funcional de la ecuación, que tiene el periodo fundamental de $12$ y para el que $g(x) = f(x)$. La sustitución de $f$$f-g$, podemos suponer $f(x) = 0$. Como resulut de este y la multiplicación escalar, podemos suponer que $f(x) = 0$$f(x+1) = 1$. A continuación, $f(x+n) = \frac{1}{\alpha - \beta} (\alpha^n - \beta^n)$ donde $\alpha = e^{\frac{\pi i}{6}}, \beta = e^{-\frac{\pi i}{6}}$. A partir de esta $f(x) = f(x+n)=0$ si y sólo si $n$ es un mutiple de $6$. Pero $6$ no puede ser un período debido a $f(x+1) \neq f(x+7)$.

Answer 2

Definir el operador lineal $T$ por $$Tf(x):=- √3f(x) + f(x-1) + f(x+1)$$ y $E$ por $$Ef(x)=f(x+1).$$

Uno puede ver que $T=E-\sqrt{3}+E^{-1}$.

Considere la posibilidad de solucionar $$x-\sqrt{3}+x^{-1}=0$$ $$\implies x^2-2x\frac{\sqrt{3}}{2}+1=0$$ $$\implies\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2=-\frac{1}{4}$$ $$\implies x = \frac{\sqrt{3}\pm i}{2}=\exp\left(\frac{\pm i\pi}{6}\right)=\omega_{\pm}$$

Así se puede ver que $T=E^{-1}(E-\omega_+)(E-\omega_-)$.

Tenga en cuenta que el $\omega_\pm$ son primitivas $12^{th}$ raíces de la unidad, por lo que el más pequeño de $n$ tal que $T$ factor exactamente en $E^n-1$$12$.

De esto se sigue que el periodo fundamental de esta función debe ser $12$.

Answer 3

Traté de sustitución de $x$$x \pm 1$, a continuación, tratar de encontrar $f(x)$, en términos de otros, pero siempre terminan con él en términos de la suma de las otras dos argumentos en la función por ejemplo $f(x-2)$ + $f (x+2)$ etc.

Inicio con:

$f(x+1) = \sqrt{3}\,f(x) - f(x-1) \tag{1}$

El uso de $(1)\,$:

$$ f(x+3) = \sqrt{3}\,\big(\sqrt{3}\,f(x+1) - f(x)\big) - f(x+1) = 2 f(x+1) - \sqrt{3}\,f(x)\etiqueta{2} $$

Using $(1)$ and $(2)\,$:

$$\requieren{cancel} \begin{align} f(x+6) &= 2 f(x+4) - \sqrt{3}f(x+3) \\ &= 2 \big(2 f(x+2) - \sqrt{3} f(x+1)\big) - \sqrt{3} \big(2 f(x+1) - \sqrt{3}\,f(x)\big) \\ &= 4 f(x+2) - 4 \sqrt{3} f(x+1) + 3 f(x) \\ &= 4 \big(\cancel{\sqrt{3} f(x+1)} - f(x)\big) - \cancel{4 \sqrt{3} f(x+1)} + 3 f(x) \\ &= -f(x) \tag{3} \end{align} $$

Therefore $f(x+6)=-f(x)\,$, so $\,f(x+12) = -f(x+6) = f(x)\,$.

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[ EDITAR ] Para abordar esta parte de la pregunta:

Por favor ... no le dan el proceso de pensamiento ... ¿qué te llevó a pensar ...

Usted escribió I have no idea what recursive relation is en un comentario, lo que impide la obtención de la sugerencia de las raíces del polinomio característico, al igual que otras respuestas utilizado.

Una posible intuición sería reconocer algo que recuerda de la trigonometría en la relación y, con un salto de la imaginación, pensar en la identidad:

$$ \sin\left(x+ \frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x- \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \,\sin(x) $$

Other than that, by brute force, you can express $f(x+k)$ in terms of $f(x+1)$ and $f(x)\,$ by recursively applying the given relation, so you could try and calculate $f(x+2)\,$, $f(x+3)\,$, $f(x+4)\,$ etc in hope that the term $f(x+1)$ cancels out at some point, and you get a relation between $f(x+k)$ and $f(x)$ alone for some $k\,$, which is what happened in my answer at $k=6\,$.

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[ EDITAR #2 ] Para profundizar sobre el último párrafo, tal como solicitó en un comentario, $\,f(x+k)\,$ puede ser expresado en términos de $\,f(x+1)\,$ $\,f(x)\,$ mediante la aplicación de la relación dada en repetidas ocasiones:

• $\,k=2\,$: $\;\;f(x+2) = \sqrt{3}\,f(x+1) - f(x)$

• $\,k=3\,$: $\;\;f(x+3) = 2 f(x+1) - \sqrt{3}\,f(x)$

• $\,k=4\,$: $\;\;f(x+4) = \sqrt{3}f(x+1)-2f(x)$

• $\,\cdots$

En otras palabras $\,f(x+k) = a_k f(x+1) + b_k f(x)\,$ donde $a_k,b_k$ son algunas de las constantes. Si un $k=n$ se encuentra tal que $\,a_n=0\,$, que deja a $\,f(x+n)=b_n f(x)\,$. Si además $b_n^{\,m}=1$ algunos $\,m\,$, $\,f(x+ m \cdot n)=b_n f(x+(m-1) \cdot n)=\cdots=b_n^{\,m}f(x)=f(x)\,$ $m \cdot n$ es un período de $f(x)$. En el problema dado, esto ocurre por $n=6$$b_6=-1$$m=2\,$, lo $2 \cdot 6 =12$ es un período.

Answer 4

Creo que se puede empezar de una manera sencilla. Supongamos $f(0)=a, f(1)=b$. Utilizando la ecuación se dio con $x=1$, por lo que se puede resolver para $f(2)$ y consigue $f(2) = \sqrt{3}b - a$. Usando la ecuación de con $x=2$ resolver para $f(3) = 2b-\sqrt{3}a$. En un par de pasos más, usted encontrará $f(6) = -a, f(7) = -b$. Esto es cierto para cualquier $a,b$. ¿Que te dice esto acerca de la $f(12), f(13)$? Si usted puede contestar a esto se puede demostrar que los $f(n+12)=f(n)$ para todo entero $n$. También para todos los verdaderos $n$ así porque en lugar de $0,1$ podríamos haber empezado a $x,x+1$.