Demostrar que $ \int_0^1 f(x)dx - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = O(\frac{1}{n}) $

Question

Deje que la función de $ f(x) $ es acotada y monótona en $[0,1]$. Demostrar que

$ \int_0^1 f(x)dx - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) = O(\frac{1}{n}) $

Está claro que $ \int_0^1 f(x)dx - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) \to 0 $ si $ n \to \infty $

Pero no tengo idea de cómo probar que es exactamente $ O(\frac 1n) $.

Gracias por la ayuda! No juzgar estrictamente estoy empezando a estudiar el cálculo integral.

Answer 1

Tiene, como f es creciente,

$$ \int_0^1 f(x) dx= \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) dx \leq \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(\frac{k}{n}) dx \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) $$ y $$ \int_0^1 f(x) dx= \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) dx \geq \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(\frac{k-1}{n}) dx $$ $$\geq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k-1}{n}) \geq \frac{f(0)}{n}-\frac{f(1)}{n} + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) $$

Por lo tanto

$$\frac{f(0)-f(1)}{n} \leq \int_0^1 f(x) dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) \leq 0$$