Ejercicio I-$43$(a) en Eisenbud-Harris

Question

Este ejercicio es I-$43$(a) en Eisenbud/Harris, de la Geometría de los Esquemas.

Deje $k[t] \rightarrow k[x,u]/(xu)$ $k$- álgebra homomorphism dado por $t \mapsto x+u$. Para $\alpha \in k$, el anillo de fibra correspondiente al primer ideal $(t-\alpha)$ $k[t]$ está dado por $k[x]/x(x-\alpha)$. Este anillo de fibra tiene exactamente dos primeros ideales si $\alpha \neq 0$ y un primer ideal de lo contrario. Los autores dicen que para $\alpha=0$ el hecho de que $k[x]/x^2$ es bidimensional $k$-espacio vectorial refleja la estructura local del mapa en el punto de $(x,u) \in \operatorname{Spec}(k[x,u]/(xu))$. Sin embargo, incluso si $\alpha \neq 0$, $k[x]/x(x-\alpha)$ todavía es de dos dimensiones como un $k$-espacio vectorial, así que no veo cómo el espacio vectorial de dimensión del anillo de fibra capta algo especial en el punto de $(x,u)$. Por otro lado, veo que $k[x]/x^2$ no puede ser isomorfo como un anillo a $k \times k$ debido a que el último tiene dos prime ideales. Pero ahora, ¿qué es el anillo de isomorfismo la identificación de $k[x]/x(x-\alpha)$$k \times k$? La obvia mapa que identifica a estos dos como $k$-espacios vectoriales, no parece ser un anillo de homomorphism.

Answer 1

Como Mohan dice en los comentarios, \begin{align*} \frac{k[x]}{(x(x-\alpha))} &\overset{\sim}{\rightarrow} \frac{k[x]}{(x)} \times \frac{k[x]}{(x-\alpha)} \cong k \times k\\ f &\mapsto (f \ \ \text{mod} \ (x), \, f \ \ \text{mod} \ (x-\alpha)) = (f(0), f(\alpha)) \end{align*} por el Teorema del Resto Chino, ya que los ideales $(x)$ $(x-\alpha)$ son comaximal.

Estoy de acuerdo en que la dimensión no distinguir el punto de $(x,u)$, pero como dices, el hecho de que $k[x]/(x^2) \not\cong k \times k$. Una forma sencilla de ver esto es para nota de que $k[x]/(x^2)$ no se reduce ($x$ es nilpotent), mientras que $k \times k$ es. Me siento más cómodo con la clásica terminología así que puedo estar haciendo mal uso de el término, pero yo diría que el mapa se ramifica en el punto de $(x,u)$: el mapa es genéricamente $2$a-$1$, pero sólo hay $1$ preimagen por encima del punto de $(t)$.

El comentario acerca de la dimensión de $k[x]/(x^2)$ me parece un poco desconcertante hasta que nos fijamos en la parte (b) del ejercicio. Ahí tienes un mapa entre dos planos en $4$-espacio que se intersecan en un punto, y un avión. Una cosa muy extraña que sucede en este caso: casi todas las fibras se $2$-dimensional, pero la fibra que contiene el doble punto es $3$-dimensional! Los autores hacen mención de cómo esto es debido al hecho de que el dominio del mapa no es localmente Cohen-Macauley, pero voy a dejar que alguien que sabe más que yo le diga a usted lo que eso significa!