Álgebra lineal: encontrar una base para un subespacio de $\mathbb{R}^4$

Question

Así que me he quedado con este ejemplo de mi Into. Lineal del libro de Algerbra

No sé exactamente cómo debo encontrar la base en este caso. ¿Se supone que debo usar un valor aleatorio de t y s y llamar base al vector único? (No había ejemplos anteriores en el libro que eran similares)

Gracias

Answer 1

Virtuoso, tiene dos variables libres a elegir para formar un vector en un subespacio $\mathbb{W}$ , a saber $s$ y $t$ , determinan su vector. Así, sabemos que podemos representar cualquier vector en $\mathbb{W}$ como $\begin{bmatrix} 2s-t\\ s\\ t\\ s \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2s\\ s\\ 0\\ s \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -t\\ 0\\ t\\ 0 \end{bmatrix}$ . Aquí, sólo estoy descomponiendo cualquier vector genérico en nuestro subespacio en los componentes independientes -- no se puede descomponer más, ya que está determinado por estas dos variables. Ahora, usted puede sacar $s$ y $t$ para conseguir que cualquier vector en $\mathbb{W}$ puede representarse como $s \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ donde puedes elegir cualquier $s, t \in \mathbb{R}$ . En otras palabras, los vectores $\begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}$ span el subespacio $\mathbb{W}$ y como son linealmente independientes, forman a base para su subespacio. Dado que la dimensión del subespacio es igual al número de vectores linealmente independientes necesarios para abarcar el subespacio (o, alternativamente, el número de vectores base), se puede deducir que la dimensión de $\mathbb{W}$ es igual a 2.

Tenga en cuenta que esto no es el ya que no existe tal cosa - hay infinitas combinaciones de dos vectores que formarían una base para $\mathbb{W}$ . Lo único que se necesita es que estos dos vectores sean (1) linealmente independientes y (2) estén contenidos en el subespacio $\mathbb{W}$ . Así que, por ejemplo, podrías multiplicar nuestros vectores base por los números reales que quieras, como una forma de obtener un nuevo par de vectores base.

Answer 2

Creo que es más claro si lo escribes así (a la manera de Gary): El conjunto, es decir $W$ consiste en todos los puntos $(w,x,y,z)$ en $\mathbb{R}^4$ tal que

$ \left[\begin{array}{c} w\\ x\\ y\\ z\end{array}\right]=s\left[\begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c} -1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ .

À la Mark Bennet, hay que comprobar que este sistema lineal anterior es consistente para cada L.H.S. Gran pista: considera la matriz formada por los dos vectores anteriores como columnas, es decir, la matriz:

$\left[\begin{array}{cc} 2 & -1\\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0\end{array}\right]$

Como máximo, ¿cuántas posiciones de pivote puedo tener cuando la matriz anterior está en forma de escalón reducido? ¿Qué significa esto?

Además, ¿qué tienen de especial los vectores del sistema, que tienen 0 y 1, así que cómo sabes sólo por estos 0 y 1 que los dos vectores son linealmente independientes?