$m+n$ divide $a_m+a_n$

Question

Deje $a_1,a_2,\dots$ ser una secuencia de enteros positivos tal que $m+n$ divide $a_m+a_n$ todos los $m<n$. Es necesario que el $n$ divide $a_n$ todos los $n$?

Ejemplos de este tipo de secuencia es $a_n=kn$ para algún entero positivo $k$. De $m+n$ dividiendo $a_m+a_n$ vemos que si arreglamos $a_1,\dots,a_{n-1}$, $a_n$ es fijo modulo $n+1,n+2,\dots,2n-1$.

Answer 1

Siguiendo las sugerencias en los comentarios:

$$4n\mid a_n+a_{3n}, 6n\mid a_n+a_{5n}, 8n\mid a_{3n}+a_{5n}$$

Por lo $2n\mid (a_n+a_{3n})+(a_n+a_{5n})-(a_{3n}+a_{5n})=2a_n$, por lo tanto $n\mid a_n$.