inyectiva endomorphisms finito de módulos no necesitan ser surjective

Question

En el caso de finito-dimensional espacios vectoriales, un endomorfismo es inyectiva si y sólo si es surjective. En el caso de finitely módulos sobre un anillo conmutativo, si un endomorfismo es surjective, entonces es inyectiva. Me pregunto acerca de lo contrario, que sospecho que no es cierto. Estoy interesado en contraejemplos que dan una idea de la razón por la que una inyectiva endomorfismo de un número finito de módulo no es necesariamente surjective.

Edit: en varias ocasiones en álgebra abstracta de inyectividad y surjectivity parecen ser de doble nociones. En otros casos, esta dualidad se rompe. El caso me estoy refiriendo a que parece ser uno de estos y estoy interesado en la comprensión de qué es lo que hace una noción (surjectivity) "más difícil" de lograr que el otro (inyectividad).

Answer 1

Por ejemplo, considere el $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ multiplicación por $2$.

Answer 2

Considerar el mapa de $k[x] \to k[x]$ dado por la multiplicación por $x$.

Edit: me siento como que también puede arrojar algo de luz sobre este problema de la dualidad. ¿Sabes lo que una categoría es? Lo que básicamente estamos viendo es una categoría de módulos. En la categoría de teoría, hay epimorphisms (epi) y monomorphisms (mono) y estos son duales entre sí: Cada categoría tiene un opuesto de la categoría y de la epi en la categoría corresponden a los de mono en el opuesto (y viceversa). Así, por cada teorema que puede ser comprobado acerca de epi existe una versión dual acerca de mono (y viceversa).

En el módulo de categorías de la epi son exactamente los surjections y el mono son exactamente las inyecciones. Lo que he notado es que en algunas categorías, por ejemplo finitely módulos sobre un anillo conmutativo, que el epi implica mono. En la doble categoría es cierto que el mono implica epi, es solo que el doble de la categoría no es la categoría de módulo de un anillo conmutativo. De ahí la doble declaración de no retención de esa categoría.

Usted puede demostrar que la categoría de finito dimensionales espacios vectoriales es su propio doble. Así que si usted demostrar que un enunciado como "epi implica mono", entonces la doble declaración de "mono implica epi" también es cierto para esa categoría.

De modo que la dualidad que ha notado entre el epi y el mono siempre se mantiene. Es sólo que no sólo involucra a una sola categoría, que implica la búsqueda a una categoría y que es de doble categoría. Lo que he notado es que algunas categorías son sus propios doble y algunos no lo son.