Pregunta: Demostrar que ningún grupo de la orden de 10.000 es simple.
Intento de solución:
Por los Teoremas de Sylow, el número de Sylow de 5 subgrupos sólo puede ser 1 o 16 (ya que este número tiene que dividir los 10.000 y también ser el equivalente a 1 mod 5).
Si hay 1 Sylow 5-subgrupo, entonces es automáticamente un subgrupo normal (desde su conjugado sólo puede ser en sí mismo), de manera que el grupo no es sencillo.
Si hay 16 5-subgrupos...
Cualquier ayuda se agradece. Gracias!
Como Serkan mencionado, este es un clásico de Sylow simplicidad problema donde el orden es demasiado grande para ser un subgrupo de los asociados grupo simétrico. Yo estaba esperando a ver preguntas acerca de simples grupos de fin de 2012, y por lo tanto en la actualidad sorprendió al ver esta pregunta en el futuro. Saludos desde el pasado a nuestros amigos de la Y10K! Sin embargo, estoy triste ver que las técnicas no han cambiado a lo largo de la próxima 8000 años.
Serkan la prueba de que funciona muy bien para 10000, pero hace 12 años no estábamos tan futurista y tuvo que conformarse con la siguiente propuesta, que espero sea de utilidad:
La proposición: Un grupo de orden $2^4 \cdot 5^n$ $n \geq 2$ tiene un subgrupo normal de orden $5^n$ o $5^{n-1}$.
Prueba: Vamos a $G$ ser un grupo, $P$ un Sylow 5-subgrupo. Sylow de teoremas muestran que $N_G(P)$ es $G$ o $P$, y la anterior es una de las conclusiones. Por lo tanto podemos suponer $N_G(P)=P$. Considere la posibilidad de la acción de la $P$ $G$- conjugados de $P$. $P$ corrige $P$, pero no puede arreglar cualquier otro conjugado. Escrito $16-1$ como una suma de los divisores de a $5^n$ sólo puede ser hecho como $5+5+5$. Por lo tanto, en los tres órbitas $Q=N_P(P^g)=P \cap P^g$ índice 5 $P$. Desde $Q$ es máxima en ambos $P$ y $P^g$, $Q$ es normal en ambos $P$$P^g$. Por lo tanto $N_G(Q)$ es un grupo de orden $2^i 5^n$ con más de un Sylow 5-subgrupo. Si $i <4$, esto se contradice del teorema de Sylow, por lo $i=4$ y $N_G(Q) = G$. $\square$
De hecho, incluso puede ser muy explícito acerca de la estructura de $G/Q$ en el caso de que el Sylow 5-subgrupo no es normal. Luego tenemos a $G/Q \leq \operatorname{AGL}(1,16)$ orden $2^4 \cdot 5$ y es el único que no abelian semi-producto directo de la escuela primaria, el grupo abelian de la orden de 16 años con un grupo cíclico de orden 5. De curso $Q$ sí, puede ser cualquier grupo de orden 125. La prueba es simplemente que ningún otro grupo de la orden de 16 tiene un automorphism de orden 5 (por Burnside del teorema de la base), por lo que todos los demás Sylow 2-subgrupo permite la centralización de las Sylow 5-subgrupo y así normalizar.
$$|G|=10,000=2^4\cdot5^4$$ Por los teoremas de Sylow, hay uno o $\,2^4=16\,$ Sylow $\,5\,$-subgrupos. Si esto último es cierto, la definición de $\,P=\,$ Sylow $\,5\,$-propuestas sbgp. , obtenemos $$[G:N_G(P)]=16$$ La fabricación ley de $\,G\,$ regularmente (desplazamiento a la izquierda, por ejemplo) en el set de cosets de $\,N_G(P)\,$, obtenemos un homom. $\,\phi:G\to S_{16}\,$ , el cual debe ser inyectiva si asumimos $\,G\,$ es simple, y por lo tanto nuestro grupo es isomorfo con un subgrupo de $\,S_{16}\,$, lo cual es imposible (¿por qué? El Teorema de Lagrange)
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