encontrar todas las funciones racionales $f(x)$ tal que $(f(x))^2-f(x^2)=constant$,

Question

Encontrar todas las $f(x)$ tal que % $ $$(f(x))^2-f(x^2)=constant$

Answer 1

Suponga que $a$ es un polo de $f$ o de la orden de $n$ $f^2$ $a$ como un polo de orden $2n$ y por lo tanto también lo hace $f(x^2)$. Por lo tanto, $a^2$ es un polo de $f$ orden $2n$. Por lo tanto, $f$ no tiene polos diferentes de cero.

Deje $g(x):=f(1/x)$. Observe que $g(x)$ también satisface la ecuación. Restar las dos ecuaciones para obtener $$(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=f(x^2)-g(x^2).$$

Por lo tanto, para la función de $h(x):=f(x)-g(x)$ tenemos $h(x)(f(x)+g(x))=h(x^2)$. Si $a$ es un cero de $h(x)$ orden $n$, $a^2$ es un cero de $h(x)$. Por lo tanto, cualquiera de las $a=0$ o $h(x)=constant$.

Ahora tenemos $f(x)=P(x)/x^k$ para algunos polinomio $P$. A continuación,$P(x)/x^k-P(1/x)/x^{-k}=C$.

Si $n$ es el grado de $P$, comparando los grados tenemos que $n=2k$. La comparación de los coeficientes de conseguir que la $P$ es un polinomio simétrico (los coeficientes se pueden poner en orden inverso), es decir,$P(x)=a_{2k}x^{2k}+a_{2k-1}x^{2k-1}+\ldots+a_{2k-1}x+a_{2k}$.

Así que, por el momento tenemos que $f$ es una combinación lineal de $x^k+1/x^k$. La conexión de una combinación lineal de a $f(x)^2-f(x^2)=constant$,

... a ser continuado, pero a partir de ahí usted debe obtener las soluciones ...

Answer 2

Las respuestas anteriores han olvidado $f(x)=x+1/x$