¿Derivados direccionales, diferenciales y de mentira en la intuición de colectores?

Question

Tratando de traducir elementales de cálculo multivariable en el lenguaje de los colectores:

Es la derivada direccional en un colector sólo una manera de encontrar la tasa de cambio de un vector en una sola dirección, en un fijo de base, donde el vector se expresa en términos de combinaciones lineales de los vectores de la base (es decir, para encontrar la tasa de cambio de un vector en el espacio de la tangente en movimiento a lo largo de una de las direcciones de la base de los puntos de salida)?

Es el diferencial, a continuación, sólo una manera de encontrar la tasa de cambio de ese mismo vector en una sola dirección, donde el vector es simplemente expresa en términos de sus coordenadas en un invariante de la moda (es decir, para encontrar la tasa de cambio de un equivalente de vectores en el espacio cotangente que es dual a la original vector en una dirección hacia fuera por la base)?

Si quiero tomar un segundo derivado en otra dirección dada por una base fija, estoy obligado a definir la mentira derivado de una sola forma? es decir, es la mentira de derivados sólo una forma elegante de tomar las segundas derivadas de las funciones escalares en una sola dirección (aunque también interpretable como primero, segundo, ... derivados de vector de valores de las funciones)?

En términos del vector de funciones con valores de campos vectoriales, nunca he entendido por qué la segunda derivada naturalmente termina con la necesidad de definir una forma bilineal, intuitivamente por qué hace esto necesariamente surgen en tomar la segunda derivada de algo como $\vec{F}(x,y) = (x^2+y^2,2xy)$?

¿Cómo funciona este intuitiva ejemplo traducir en el lenguaje de la mentira derivados de campos vectoriales?

Es la derivada covariante sólo una manera para hacer todo lo anterior de manera arbitraria, es decir, en una dirección al azar, no importa qué base se nos ha dado?

¿Qué hace el conmutador en realidad, el pensamiento a lo largo de estas líneas?

Answer 1

Esto no contesta a todas sus preguntas, y algunas de las respuestas pueden ser de nivel inferior de lo que usted espera, pero puedo detectar lo que yo creo que es algo de confusión en su pregunta, y voy a tratar de explicar las cosas a partir de primeros principios. He estado esperando a alguien para responder a esta pregunta, y no he visto que nadie trate.

No me queda claro que formas bilineales que estás hablando, así que voy a permanecer en silencio sobre eso.

La manera en que yo lo pienso de ella, derivadas direccionales no son "tasas de cambio" de los vectores, pero son identificados con los vectores, y se aplican a las funciones desde el colector a los reales. Que es, creo que de una dirección local como una derivada direccional en esa dirección.

Tomar un gráfico en un colector y utilizarlo para pretender el dominio de ese gráfico es un conjunto abierto en el espacio Euclidiano.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tangent_space#Tangent_vectors_as_directional_derivatives

El total derivado de un mapa de un espacio Euclídeo a otro es la lineal mapa que, en un punto, mejor se aproxima a ese mapa. Si uno toma las derivadas direccionales con respecto a la estándar (parciales) como una base para el espacio de la tangente, entonces la matriz Jacobiana de los parciales de las coordenadas de la función que representa el total de derivados. Para aplicar esta idea a un mapa de $f\colon N \to M$ de colectores, componer con gráficos en cualquiera de los lados. Para aplicar el diferencial de $f_*$ a un vector tangente $X \in T_p N$, recordando que un vector tangente es pensado como una derivación en el álgebra de gérmenes de funciones en un punto, en un solo precomposes:

$$(f_* X)\colon \phi \mapsto X(\phi \circ f)$$

por un germen $\phi$ de las funciones en$f(p)$$M$.

Lo que hay que entender acerca de esto es que, si hacemos caso de los gráficos y decir que estamos trabajando con mapas entre Euclidiana espacios, y escribir $X$ en términos de una base de derivadas parciales, a continuación, $f_*$ es representado por la matriz Jacobiana $[\partial f^i/\partial x^j]$.

La Mentira de derivados sobre vectores es una forma de diferenciación de campos vectoriales, esencialmente: $\mathcal L_X \tilde Y$ es la tasa de cambio del campo de vectores $\tilde Y$ $X$- dirección, donde la $X \in T_p M$. El problema está en decir lo que "la $X$-dirección". Si el colector está equipado con una métrica de Riemann, hay un mapa que se llama la exponencial de un barrio de el origen en el espacio de la tangente a un barrio de $p$ que dice lo que quiere "seguir en la $X$-dirección" más allá de $p$.

El problema es que el "primer derivadas direccionales" son todos los mapas entre los diferentes tangente espacios, y a diferencia de en $\mathbb R^n$, no hay canónicas de identificación de la tangente espacios, así que uno tiene que comparar las cosas en diferentes tangente espacios para tomar la segunda derivados. El punto de conexión es que te permiten hacer eso.