El siguiente argumento sirve para cualquier $a > -1$ . Se nos da que $$s_n(a) = \sum_{k=1}^{n} k^a$$ Sea $a_n = 1$ y $A(t) = \displaystyle \sum_{k \leq t} a_n = \left \lfloor t \right \rfloor$ . Por lo tanto, $$s_n(a) = \int_{1^-}^{n^+} t^a dA(t)$$ La integral debe interpretarse como la integral de Riemann Stieltjes. Integrando ahora por partes, obtenemos que $$s_n(a) = \left. t^a A(t) \right \rvert_{1^-}^{n^+} - \int_{1^-}^{n^+} A(t) a t^{a-1} dt = n^a \times n - a \int_{1^-}^{n^+} \left \lfloor t \right \rfloor t^{a-1} dt\\ = n^{a+1} - a \int_{1^-}^{n^+} (t -\left \{ t \right \}) t^{a-1} dt = n^{a+1} - a \int_{1^-}^{n^+} t^a dt + a \int_{1^-}^{n^+}\left \{ t \right \} t^{a-1} dt\\ = n^{a+1} - a \left. \dfrac{t^{a+1}}{a+1} \right \rvert_{1^-}^{n^+} + a \int_{1^-}^{n^+}\left \{ t \right \} t^{a-1} dt\\ =n^{a+1} - a \dfrac{n^{a+1}-1}{a+1} + a \int_{1^-}^{n^+}\left \{ t \right \} t^{a-1} dt\\ = \dfrac{n^{a+1}}{a+1} + \dfrac{a}{a+1} + \mathcal{O} \left( a \times 1 \times \dfrac{n^a}{a}\right)\\ = \dfrac{n^{a+1}}{a+1} + \mathcal{O} \left( n^a \right)$$ Por lo tanto, obtenemos que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_n(a)}{n^{a+1}/(a+1)} = 1$$ Por lo tanto, ahora $$\dfrac{s_{n}(a+1)}{n s_n(a)} = \dfrac{\dfrac{s_n(a+1)}{n^{a+2}/(a+2)}}{\dfrac{s_n(a)}{n^{a+1}/(a+1)}} \times \dfrac{a+1}{a+2}$$ Por lo tanto, obtenemos que $$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_{n}(a+1)}{n s_n(a)} = \dfrac{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_n(a+1)}{n^{a+2}/(a+2)}}{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_n(a)}{n^{a+1}/(a+1)}} \times \dfrac{a+1}{a+2} = \dfrac11 \times \dfrac{a+1}{a+2} = \dfrac{a+1}{a+2}$$
Tenga en cuenta que el argumento debe modificarse ligeramente para $a = -1$ o $a = -2$ . Sin embargo, los dos casos se pueden argumentar directamente en sí.
Si $a=-1$ entonces queremos $$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_n(0)}{n s_n(-1)} = \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{n}{n H_n} = 0$$
Si $a=-2$ entonces queremos $$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_n(-1)}{n s_n(-2)} = \dfrac{6}{\pi^2} \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{H_n}{n} = 0$$
En general, para $a <-2$ Obsérvese que tanto $s_n(a+1)$ y $s_n(a)$ convergen. Por lo tanto, el límite es $0$ . Para $a \in (-2,-1)$ , $s_n(a)$ converge pero $s_n(a+1)$ diverge más lentamente que $n$ . Por lo tanto, el límite es de nuevo $0$ .
En resumen $$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{s_n(a+1)}{n s_n(a)} = \begin{cases} \dfrac{a+1}{a+2} & \text{ if }a>-1\\ 0 & \text{ if } a \leq -1 \end{cases}$$