Sobre el límite de la relación del coeficiente de una serie de energía sobre números complejos

Question

Esta es mi primera pregunta en mathSE, espero que sea adecuada aquí!

Actualmente estoy auto-estudio de complejos análisis utilizando el libro de Stein & Shakarchi, y este es uno de los ejercicios (pág.67, P14) que no tengo idea de por donde empezar.

Supongamos $f$ es holomorphic en un conjunto abierto $\Omega$ que contiene el cerrado de la unidad de disco, a excepción de un polo a $z_0$ sobre el círculo unidad. Mostrar que si $f$ tiene el poder de expansión de la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ en el abrir de la unidad de disco y, a continuación,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = z_0$.

Si el límite es de tomar en $|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$ y asume que el límite existe, por el radio de convergencia sabemos que la respuesta es $1$. Pero, ¿qué podemos decir sobre el límite del coeficiente de relación, que es un puro número complejo? He tratado de ampliar el límite directamente por definición, no hubo suerte. Y yo no podía ver cómo podemos aplicar cualquiera de los estándar de teoremas en el análisis complejo.

Espero recibir algunas instrucciones acerca de cómo podemos empezar a pensar en el problema en lugar de una respuesta completa. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Vamos a intentar otro camino para resolver este problema.

La construcción de un contorno, que consta de dos partes. La primera parte es un círculo y es un poco más grande que el círculo unidad, excepto cerca del punto de $z_0$. La llamamos $C_1$, y tener valor absoluto estrictamente mayor que $1+\delta$ algunos $delta$. La segunda parte es un pequeño círculo con un radio de $\epsilon$.

Supongamos $z_0$ como polo tiene grado k, entonces $f(\zeta)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^k}$ donde $g(z)$ es holomorhpic.

Para$C_1$, $|\int_{C_1}\frac{g(\zeta)}{\zeta^n}\frac{1}{(\zeta-z_0)^k}d\zeta|\leq \frac{1}{\epsilon^k}\int_{C_1}\frac{M}{(1+\delta)^n}d\zeta \to 0$

Para $C_\epsilon$, tenemos $$\int_{C_\epsilon}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{n+1}}\frac{1}{(\zeta-z_0)^k}d\zeta=\int_{-\theta_0}^{-\pi+\theta_0} \frac{g(z_0+\epsilon e^\theta_0)}{(z_0+\epsilon e^\theta_0)^{n+1}}e^{-i\theta k} d\theta$$

De la misma manera,

$$\int_{C_\epsilon}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{n+2}}\frac{1}{(\zeta-z_0)^k}d\zeta=\int_{-\theta_0}^{-\pi+\theta_0} \frac{g(z_0+\epsilon e^\theta_0)}{(z_0+\epsilon e^\theta_0)^{n+2}}e^{-i\theta k} d\theta$$

Multiplicando la segunda con $z_0$, y el cálculo de la diferencia, nos,

$$ \Delta=\int_{-\theta_0}^{-\pi+\theta_0} \frac{g(z_0+\epsilon e^\theta_0)}{(z_0+\epsilon e^\theta_0)^{n+2}}e^{-i\theta k} \epsilon e^{i\theta}d\theta \to 0$$, as $\epsilon \to 0$

lo que significa que

$$ \frac{\int_{C_\epsilon}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{n+1}}\frac{1}{(\zeta-z_0)^k}d\zeta}{z_0\int_{C_\epsilon}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{n+2}}\frac{1}{(\zeta-z_0)^k}d\zeta} \to 1 $$ as $\epsilon \to 0$

La combinación de todos estos y de Cauchy de la integral formuals que $a_0=f(0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta}d\zeta$$n!a_n=f^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta$, nos dividimos $C$$C_1$$C_\epsilon$, nos onle necesario elegir cuidadosamente el $\epsilon$'s y $\delta$'s para completar la prueba.