Una relación de dispersión indica la forma de $\omega (k)$. Desde $E = \hbar \omega$ $P = \hbar k$ se puede ver como una relación entre la energía y el impulso.
Desde que tenemos de la relatividad especial que $$ E^{2} = p^{2}c^{2} + m^{2}c^4$$
está claro que tenemos $E = Pc$ para un fotón. También, a partir de la energía total de un electrón libre es $E=\gamma m c^2$ la energía cinética es $E = (\gamma -1)mc^2$ que se reduce a $P^2/2m$ $v<<c$
De esta manera se puede ver cómo la relatividad especial nos dice que la masa tiene un papel en la relación de dispersión, ya que el resto (invariantes), la masa es la misma para todos los observadores en todos los marcos de referencia. (Es la norma de la energía-momentum 4-vectores en el espacio de Minkowski).
Volviendo a su pregunta, usted puede ver que los fotones siguen la ecuación de onda $$ \partial^2_t \Psi = v^2\nabla^2 \psi $$
cuyas soluciones son ondas transversales, mientras que los electrones libres de seguir la ecuación de Schödinger :
$$ i\hbar\partial_t\Psi = -\hbar^2/2m\nabla^2\Psi $$
cuyas soluciones son ondas planas.
La relación de dispersión es medio-dependiente, por ejemplo, la luz es dispersionless en el vacío, pero no en la materia, por lo que en general $$v (n) = c/n$$ where $n$ es el medio de índice de refracción.
Para las ondas siguiente Schrödinger, ecuación de la relación de dispersión se da, en general, por la relatividad especial. Esta es la razón por la masiva partículas tienen diferentes dispersión de ondas electromagnéticas, por ejemplo, y debido a la masiva partículas tienen una velocidad de fase $v_\phi = \omega/k$ que depende de la longitud de onda que ampliar con el tiempo de propagación.
(Editado un montón de veces)
No respondo preguntas a menudo, así que espero que esto sea útil.
