Probar o refutar las declaraciones sobre el máximo común divisor

Question

Ayuda para probar o refutar cualquiera de estas declaraciones será muy apreciada, uno u otro está bien, sólo hay una salida o una solución a uno y estoy seguro que podría probablemente averiguar el otro.

(a) para todas las $a, b, c \in \mathbb{Z}$, $\gcd(ac, bc) = c \gcd(a, b)$ %

(b) para todas las $a, b, c \in \mathbb{Z}$, $\gcd(ab, c) = \gcd(a, b) \gcd(b, c)$ %

Answer 1

Sugerencia para (a): tenga en cuenta que $c|ac$ y $c|bc$.

Sugerencia para (b): ver en casos especiales, $a=b$, $a=c$ etcetera

Answer 2

Me parece útil mirar la descomposición del primer factor del número $a,b$ y $c$. Dos números $x,y$ el $\gcd(x,y)$ es sólo el conjunto máximo de factores primeros comunes.

Así para (a) usted está claro que la máxima fija de factores primeros de $ac$ y $bc$ contienen tanto los factores primeros de $c$. Así que si usted toma los factores primeros de $c$ hacia fuera, ambos conjuntos siguen siendo máximas.

(B) sugerimos para jugar con algunos ejemplos.

Answer 3

Sea el poder más alto del primer $p$ $a,b,c$ $r_a,r_b,r_c$ respectivamente,

el poder más alto de gcd $p$min $(a,b)=$ $(r_a,r_b)$

el poder más alto de $p$ $c\cdot$ MCD $(a,b)=r_c+$min $(r_a,r_b)$

el poder más alto de gcd $p$min $(a\cdot c,b \cdot c)=$$(r_a+r_c,r_b+r_c)=r_c$ + min $(r_a,r_b)$

el poder más alto de gcd $p$min $(a\cdot b,c)=$ $(r_a+r_b,r_c)$

el poder más alto de $p$ en gcd $(a,b)\cdot$ MCD $(b,c)=$min $(r_a,r_b)$ + min $(r_b+r_c)$

Puede usted probar min $(r_a+r_b,r_c)=$min $(r_a,r_b)$ + min $(r_b+r_c)?$

Answer 4

Respecto a (b), tal vez vale la pena mencionar que $\gcd$ y $\operatorname{lcm}$ distribuir cada uno respecto del otro, por lo que tiene $$\begin{align} &\gcd(\operatorname{lcm}(a, b), c) = \operatorname{lcm}(\gcd(a, c), \gcd(b, c)), \\& \operatorname{lcm}(\gcd(a, b), c) = \gcd(\operatorname{lcm}(a, c), \operatorname{lcm}(b, c)). \end {Alinee el}$$ la primera de estas igualdades es la correcta forma de (b).