ps
ps
Recordar
ps
ps
ver la respuesta de Felix Marin
Sustituir en (2)$$I=\int_{0}^{1}{6x(x-1)(x+2)\over (x+1)^3}\ln(x)dx=(\pi-3)(\pi+3)\tag1$ (3)
ps
ps
¿Alguien puede probar que estoy usando otro enfoque? (Prefiere la técnica más rápida)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia Uno puede integrarse por partes. $$ \begin{align} &\int_{0}^{1}{6x(x-1)(x+2)\over (x+1)^3}\ln(x)dx \\\\&=\left. \left(6x+\frac{6x}{(1+x)^2}-12 \ln(1+x)\right)\ln x\right|_0^1-\int_0^1\left(6+\frac6{(1+x)^2}-12\frac{\ln(1+x)}{x}\right)dx \\\\&=0-(9-\pi ^2) \\\\&=(\pi-3)(\pi+3) \end {align} $$ donde hemos usado el resultado estándar $$ 12 \ int_0 ^ 1 \ frac {\ ln (1 + x)} {x} dx = -12 \: \ text {Li } _2 (-1) = \ pi ^ 2. $$
Roger Hoover
Puntos
56
Un enfoque alternativo. Dado que:$$\forall x\in(0,1),\qquad \frac{x(x-1)(x+2)}{(x+1)^3}=\sum_{n\geq 1}(-1)^n (n^2+2n-1)x^n \tag{1}$ $ tenemos:$$\int_{0}^{1}\frac{x(x-1)(x+2)}{(x+1)^3}\,\log(x)\,dx = \sum_{n\geq 1}'(-1)^{n+1}\frac{n^2+2n-1}{(n+1)^2}=\frac{3}{2}-2\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\tag{2} $ $ donde$\sum'$ tiene que estar destinado à-la-Cesàro / Abel / Borel:$\sum_{n\geq 1}'a_n = \lim_{x\to 0^+}\sum_{n\geq 1}a_n e^{-nx}.$
En el RHS de$(2)$, podemos reconocer fácilmente$\eta(2)=\frac{\zeta(2)}{2}=\frac{\pi^2}{12}$ y la reclamación sigue fácilmente.
