Teorema del valor medio y segunda derivada

Question

Ahora mismo estoy leyendo un artículo de Blower (Displacement convexity for generalized orthogonal ensemble) y estoy atascado en un punto bastante delicado. Utiliza la siguiente igualdad, que se supone deducible del teorema del valor medio:

Lema : Dejemos que $v$ sea dos veces diferenciable, entonces para cualquier $x,y \in \mathbb{R}$ y $s \in [0,1]$ hay un $\bar{s} \in (0,1)$ tal que $(1-s)v(x) + sv(y) - v((1-s)x+sy) = \frac{1}{2} s(1-s)(x-y)^2 v''((1-\bar{s})x+\bar{s}y)$ .

He intentado utilizar el mvt (o más bien el teorema de Taylors) en el LHS como función de $s$ con poco éxito, y con $x$ de la que obtengo la siguiente igualdad: (llame al LHS $H$ )

$$ H(x) = H(x) - H(y) = (x-y) \left( (1-s)v'(\xi) - (1-s) v'((1-s)\xi + sy) \right)$$

donde $\xi \in (x,y),$ es decir $\xi = (1-t)x + ty, t \in (0,1)$ . Al utilizar por segunda vez el mvt este se convierte en

$$ H(x) = (x-y)^2(1-s)s \left( v''(\bar{\xi}) (1-t)\right). $$

No consigo más igualdades, ya que no sé si puedo tomar el punto medio $t = \frac{1}{2}$ . Puedo limitar esto desde abajo por $(1-t) \ge \frac{1}{2}$ (como puedo intercambiar $x$ y $y$ (y por lo tanto $s$ y $(1-s)$ ) si $t > 1/2$ ), lo que es suficiente para la prueba. Sin embargo: ¿hay alguna forma de demostrar la igualdad en el lema?

Gracias de antemano por sus respuestas, Arthur

Answer 1

Esto parece formidable, pero se convierte en algo sencillo con transformaciones simplificadoras adecuadas.

Primero reescala a $x=0$ , $y=1$ , lo que lleva a

$$ (1-s)v(0) + sv(1) - v(s) = \frac{1}{2} s(1-s)v''(\bar s)\;. $$

Ahora resta una función lineal tal que $v(0)=v(1)=0$ , lo que lleva a

$$ - v(s) = \frac{1}{2} s(1-s)v''(\bar s)\;. $$

Ahora resta una función cuadrática tal que $v(s)=0$ , a saber

$$ v(s)\frac{t(1-t)}{s(1-s)}\;, $$

lo que lleva a

$$ 0 = \frac{1}{2} s(1-s)v''(\bar s)\;, $$

y por lo tanto $v''(\bar s)=0$ . Así, el problema se reduce a demostrar que en algún lugar entre tres ceros la segunda derivada debe desaparecer, lo que se deduce aplicando el teorema del valor medio primero a cada subintervalo, dando lugar a dos puntos estacionarios, y luego al intervalo entre los puntos estacionarios.

(Por supuesto, se podría restar la función cuadrática interpolando entre $v(0)$ , $v(s)$ y $v(1)$ todo de una sola vez, pero entonces es más difícil ver cómo afecta eso a la ecuación considerada).