El recíproco no es cierto. Si el colector es estable parallelizable, entonces su Pontryagin clases también debe desaparecer, pero la desaparición de la Stiefel-Whitney clases de necesidad no implica esto.
Por ejemplo, supongamos $X$ ser un cerrado simplemente conectado liso $4$-colector. Desde $X$ es de $w_1$ $w_3$ automáticamente desaparecen. $w_4$ se desvanece iff la característica de Euler de $X$ es incluso iff $\dim H_2(X)$ es incluso. $w_2$ se desvanece iff $X$ admite un spin estructura iff la intersección en forma de $X$ es incluso. De ello se desprende que la Stiefel-Whitney clases de $X$ desaparecen iff su intersección forma incluso de rango e incluso la paridad. Pero por el Hirzebruch firma teorema, el Pontryagin clase $p_1 \in H^4(X)$ se desvanece iff la firma de $\sigma(X)$ de la intersección que se forma se desvanece.
Por lo tanto para dar un contraejemplo es suficiente para encontrar un cerrado simplemente conectado liso $4$-colector $X$ cuya intersección forma incluso de rango, incluso la paridad, y distinto de cero de la firma. Por ejemplo, usted puede tomar $X$ a ser un 3d de la superficie, o más explícitamente una hipersuperficie de grado $4$ $\mathbb{CP}^3$ (véase, por ejemplo, los cálculos en este blog), cuya intersección formulario tiene rango $22$, paridad par, y la firma de $-16$. Por Rokhlin del teorema este es el más pequeño de la firma (en valor absoluto).
Edit: por cierto, $4$ es el más pequeño posible de la dimensión de un contraejemplo. Si $X$ es un cerrado liso $d$-colector, $d \le 3$, entonces:
- Cuando $d = 1$, $X$ es un discontinuo de la unión de los círculos y por lo tanto es parallelizable.
- Al $d = 2$ si $w_1$ se desvanece, a continuación, $X$ es orientable, y esto implica que $w_2$ desaparece (por ejemplo, porque sabemos que la característica de Euler es que incluso en este caso, pero ver esta entrada de blog para el resto de los argumentos). Pero un cerrado orientable superficie estable se parallelizable: en la costumbre de la incrustación de una superficie en $\mathbb{R}^3$, el exterior apuntando normal trivializa la normal en paquete.
- Al $d = 3$ si $w_1$ se desvanece, a continuación, $X$ es orientable, y de nuevo esto implica automáticamente que $w_2$ se desvanece, ahora por algunos Wu clase de cálculos. De ello se deduce que la clasificación del mapa de la tangente bundle $X \to BO(3)$ ascensores de un mapa de $X \to B \text{Spin}(3)$. Pero $B \text{Spin}(3)$ $3$- conectado, por lo que cualquier mapa de una $3$-colector es nullhomotopic. Por lo tanto $X$ es no sólo de forma estable parallelizable pero parallelizable.
