¿Es$SO(n)$ un espacio topológico?

Question

Estoy leyendo algunos artículos sobre cómo cubrir el espacio en Wikipedia. Dice que$\operatorname{Spin}(n)$ es la cobertura universal de$SO(n)$ para$n>2$.

No puedo entender cómo las personas ven los grupos como espacios topológicos. ¿Significa que$SO(n)$ es un grupo con estructura topológica (grupo topológico) o un grupo fundamental de algunos espacios topológicos?

Gracias.

Answer 1

$SO(n)$ es un subconjunto del espacio de $M(n)$ $n \times n$ matrices. Este es un espacio vectorial real de dimensión$n^2$, y dado que el estándar de la estructura topológica de un espacio vectorial real, inducida por cualquiera que sea tu favorito de la norma.

Cualquier subconjunto de un espacio topológico es un espacio topológico con la topología de subespacio. $SO(n)$ no es sólo un espacio topológico y un grupo - es las dos cosas al mismo tiempo (un grupo topológico). Este es un espacio topológico que la multiplicación de mapa de $\mu: G \times G \to G$ y la inversión de mapa de $\iota: G \to G$ son continuos. Esto es cierto para $SO(n)$, debido a la multiplicación de la matriz es continua (es polinomial en las entradas de la matriz; y/o porque se puede probar por la mano, que en el operador de la norma, $\|AB\| \leq \|A\|\|B\|$) y la inversión es continua (es una función polinómica en las entradas de la matriz por la regla de Cramer, dividida por el determinante, que nunca se desvanece rlo que las matrices que estamos considerando y también es continua). Por lo $SO(n)$ es un grupo topológico en esta topología.

Prácticamente cada grupo de matrices se puede pensar de ($GL_n, SL_n, U(n), SU(n), Sp(n),\ldots$) es un grupo topológico, de hecho, una Mentira grupo, que es un grupo con una "suave estructura" en la que usted puede tomar derivados.

Ahora elegir una cubierta mapa de $p: \tilde G \to G$. Entonces cualquier elemento $\tilde e \in \tilde G$ $p(\tilde e) = e$ determina un único topológica de la estructura de grupo en la $\tilde G$ tal que $p: \tilde G \to G$ es un grupo continuo homomorphism. Los grupos que usted consigue para todas las diferentes opciones de $\tilde e$ son isomorfos. Así obtenemos el universal cubriendo grupo$\text{Spin}(n) \to SO(n)$$n>3$. (Para $n = 2$ es sólo el doble de la cubierta, y en este caso terminamos $\text{Spin}(2) \cong SO(2)$.)