Límite de los poderes de la matriz.

Question

Considere una matriz arbitraria$A$ con valores propios dentro del círculo unitario. ¿Hay una buena fórmula para$A^\infty = \lim_{n \rightarrow \infty} A^n$?

En particular, tal vez haya una fórmula que involucre las tres matrices de la SVD de A?

Estoy preguntando esto desde un punto de vista algorítmico, es decir, ¿hay una forma mejor de calcular$A^\infty$ que simplemente cuadrar la matriz$A$ muchas veces?

Answer 1

Editar: puede utilizar eigendecomposition. Deje $A=PJP^{-1}$ donde $J=J_{r_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{r_s}(\lambda_s)$ es el Jordan en la forma de $A$ y cada una de las $J_{r_i}(\lambda_i)$ es un bloque de Jordan de tamaño $r_i$ correspondiente al autovalor $\lambda_i$. Claramente, $A^m$ converge si y sólo si $J_{r_i}(\lambda_i)^m$ converge.

Ahora, considere un bloque de Jordan $B=J_r(\lambda)$.

1. Si $|\lambda|\ge1$$\lambda\neq1$, las entradas de la diagonal de a $B^m$, que son iguales a $\lambda^m$, no convergen.
2. Si $\lambda=1$ $B$ es un trivial Jordania bloque ($r>1$), las entradas de la diagonal de la superdiagonal de $B^m$, que son iguales a $m$, divergen.
3. Si $B$ $1\times1$ Jordania bloque correspondiente al autovalor $1$, claramente $B^m=1$$\lim_{m\to\infty}B^m=1$.
4. Si $|\lambda|<1$, considere la posibilidad de $DBD^{-1}$ donde $D$ es una matriz diagonal de la forma $\operatorname{diag}(\varepsilon,\varepsilon^2,\ldots,\varepsilon^n)$ con $\varepsilon>0$. $B^m$ converge si y sólo si $(DBD^{-1})^m$ converge. Sin embargo, el efecto de la conjugación $B\mapsto DBD^{-1}$ es a escala de la superdiagonal de $B$$\varepsilon$. Por lo tanto, cuando se $\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño, el máximo de la fila de la suma de la norma de $DBD^{-1}$, $\|DBD^{-1}\|_\infty$, es estrictamente menor que $1$. Por lo tanto $C^m$ y a su vez $B^m$ convergen a $0$.

Por lo tanto, para cualquier $n\times n$ matriz compleja $A$,

$A^m$ converge si y sólo si el Jordán de la descomposición de $A$ tiene la forma $P(J_{r_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{r_t}(\lambda_t)\oplus I)P^{-1}$ donde $|\lambda_1|,\ldots,|\lambda_t|<1$ (la identidad de bloque de $I$ es nula si $r_1+\cdots+r_t=n$). Si este es el caso, $\lim_{m\to\infty}A^m=P(0\oplus I)P^{-1}$. En particular, si todos los autovalores de a $A$ se encuentran dentro de la abrir la unidad de disco, $\lim_{m\to\infty}A^m=0$.

Si $A$ es real, ya $\lim_{m\to\infty}A^m=X$ $\mathbb{R}$ si y sólo si $\lim_{m\to\infty}A^m=X$$\mathbb{C}$, según el argumento anterior, todavía se aplica y $P(0\oplus I)P^{-1}$ es real ($A^m$ converge) a pesar de $P$ puede ser complejo.