Multiplicador de Lagrange para funcionar$x^2+y^2+z^2$

Question

El uso de multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de la función sujeta a la condición dada: $$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2; \quad x^4+y^4+z^4=1$$

Mi solución: Como hacemos en multiplicadores de Lagrange he considerado a $\nabla f=\lambda \nabla g$ donde $g(x,y,z)=x^4+y^4+z^4$ y la última ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2x=4\lambda x^3 \\ 2y=4\lambda y^3 \\ 2z=4\lambda z^3 \end{casos}$$ Después de dividir en $2$ y la multiplicación de a$x,y$$z$, respectivamente, obtenemos: $$\begin{cases} x(1-2\lambda x^2)=0 \\ y(1-2\lambda y^2)=0 \\ z(1-2\lambda z^2)=0 \end{casos}$$ Considerong la primera ecuación obtenemos dos casos: $x=0$ o $1-2\lambda x^2=0$ Después de que estoy atascado. Cómo descartar o considerar cada caso?

¿Alguien puede demostrar claramente?

Estaría muy agradecido por la ayuda

Answer 1

$x^2+y^2+z^2 \ge x^4+y^4+z^4 = 1$, y la igualdad ocurre cuando$x = 0,y = 0, z = \pm 1$ o permutaciones de ellos. También por la desigualdad de Cauchy-Schwarz:$x^2+y^2+z^2 \le \sqrt{3(x^4+y^4+z^4)} = \sqrt{3}$ con igualdad ocurre cuando$x = y = z = \pm \dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Por lo tanto, podemos concluir que el mínimo$= 1$ y el máximo$= \sqrt{3}$.

Answer 2

Tienes

\begin{cases} x(1-2\lambda x^2)=0 \\ y(1-2\lambda y^2)=0 \\ z(1-2\lambda z^2)=0 \end{casos}

Caso 1: Suponer$xyz\ne 0.$ Entonces$x^2=y^2=z^2=\dfrac{1}{2\lambda}.$ Entonces$$1=x^4+y^4+z^4=\dfrac{3}{4\lambda^2}$$ and you'll get $ \ lambda$ and thus $ x, y, z. $

Caso 2: Supongamos$z=0,xy\ne 0.$ Entonces$x^2=y^2=\dfrac{1}{2\lambda}.$ Entonces$$1=x^4+y^4+z^4=\dfrac{1}{2\lambda^2}$$ and you'll get $ \ lambda$ and thus $ x, y, z. $

Caso 3: Suponer$y=z=0,x\ne 0.$ Entonces$x^2=\dfrac{1}{2\lambda}.$ Entonces$$1=x^4+y^4+z^4=\dfrac{1}{4\lambda^2}$$ and you'll get $ \ lambda$ and thus $ x, y, z. $

Tenga en cuenta que$x=y=z=0$ no es posible y que, debido a la simetría, el caso$2$ cubre todas las posibilidades con una variable cero y el caso$3$ cubre todas las posibilidades con dos variables cero.

Answer 3

Sí, entonces tienes$x^{2}=\frac{1}{2\lambda}$ que dice$x^{4}=\frac{1}{4\lambda^2}$. Y tu quieres $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$. Entonces tenemos$$\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{1}{4\lambda^2}+\frac{1}{4\lambda^2}=1\implies \frac{3}{4\lambda^2}=1 \implies\lambda =\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Now you have $$x^{2}=\frac{1}{2\lambda}=\frac{1}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{1}{\sqrt{3}}$$ Also $ y ^ {2} = z ^ {2} = \ frac {1} {\ sqrt {3}}$ and so the maximum value is $ \ frac {3} {\ sqrt {3}} = \ sqrt {3} $.