Encontrar la familia espectral de $A^2$

Question

$A$ es un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert. El espectro de $A$ es continuo (lo que significa que no tiene espectro puntual o residual). $\{E_\lambda\}$ es la familia espectral de $A.

¿Cómo puedo demostrar que la familia $F_\lambda$ definida por

\begin{cases} 0, & \lambda<0 \\ E_\sqrt {\lambda} - E_{-{\sqrt {\lambda}}}, & \lambda\ge0 \end{cases} es la familia espectral de $A^2$?

Intenté demostrar que la suma $\sum\lambda_k (F_{\lambda_{k+1}}-F_{\lambda _{k}}) $ converge a $A^2$ en la norma del operador, pero no llegué a ninguna parte. ¿Y por qué necesito la suposición sobre el espectro de $A$?
Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Por el teorema espectral $A^2 = \int_{\mathbb{R}} \lambda^2 dE_\lambda$ se quiere demostrar que $A^2 = \int_{\mathbb{R}} \lambda \ dF_\lambda$.

Ahora, $\int_{\mathbb{R}} \lambda^2 \ dE_{\lambda} = \int_{\mathbb{R}_-} \lambda ^2\ dE_{\lambda} +\int_{\mathbb{R}_+} \lambda^2 \ dE_{\lambda}$ (nótese que $0 \in \mathbb{R}_- \cap \mathbb{R}_+$ es despreciable con respecto a $dE$ de lo contrario tendríamos espectro puntual).

Luego por un cambio de variables ($\phi=x\mapsto x^2$),

$\int_{\mathbb{R}_+} \lambda^2 \ dE_{\lambda} = \int_{\mathbb{R}_+} \lambda \ dE_{\sqrt \lambda}$ y $\int_{\mathbb{R}_-} \lambda^2 \ dE_{\lambda} = - \int_{\mathbb{R}_+} \lambda \ dE_{-\sqrt \lambda}$ donde el signo de menos (el más externo) se debe a que $\phi|_{(-\infty,0]}^{[0,+\infty)}$ NO es un difeomorfismo preservador de orientación.

Se sigue que $$A^2 = \int_{\mathbb{R}} \lambda^2 dE_\lambda = \int_{\mathbb{R}_+} \lambda \ dE_{\sqrt \lambda} - \int_{\mathbb{R}_+} \lambda \ dE_{-\sqrt \lambda} = \int_{\mathbb{R}_+} \lambda \ d(E_{\sqrt \lambda}-E_{-\sqrt \lambda}) = \int_{\mathbb{R}} \lambda \ dF_\lambda$$

Answer 2

Si $\mu$ es una medida de Borel en $\mathbb{R}$ sin átomos, entonces $m(\lambda)=\mu(-\infty,\lambda]$ es continua, y $$ \int_{-\infty}^{\infty}\lambda^2 dm(\lambda)=\int_{0}^{\infty}\lambda d(m(\sqrt{\lambda})-m(-\sqrt{\lambda})). $$ Sin embargo, existen problemas en el caso de que $m$ tenga átomos, si se desea una normalización tal que $m(\lambda)$ y $m(\sqrt{\lambda})-m(-\sqrt{\lambda})$ sean continuas por la derecha (o por la izquierda). Por lo tanto, para evitar problemas de renormalización, el problema se planteó de tal manera que las medidas espectrales no tengan átomos.