En los rompecabezas sobre $\pi$ os números perfectos: ha $\sigma(\pi(n))=\pi(2n)$ ¿Infinitas soluciones?

Question

Dejemos que $n\geq 2$ entero. La función aritmética $$\sigma(n)=\sum_{d\mid n}d$$ es la suma de la función del divisor, y $\pi(x)$ la función de recuento de primas.

Sé cómo resolver este rompecabezas que me han escrito esta mañana:

Puzzle 1. Encontrar las soluciones sobre números enteros $n\geq 2$ para $$2\sigma(\pi(n))=n.\tag{1}$$ Solución (Incorrecto, ver comentarios). La secuencia comienza como $2,12,26,504\ldots$ Uno sabe que $2\sigma(\pi(n))>2\pi(n)$ y los límites de Chebyshev sobre (digo por ejemplo la identidad (8) de este MathWorld ) en el contexto del teorema de los números primos me dice que como existe un $N_0$ tal que $\forall n>N_0$ uno tiene $2\sigma(\pi(n))>\frac{14}{8}n>n$ . Por lo tanto, la solución de nuestro rompecabezas se puede obtener utilizando un ordenador ya que sé que existen finitamente muchas soluciones de $(1)$ . $\square$

De la misma manera, intentando hacer un chiste usando la condición de ser un número perfecto $$\sigma(n)=2n,$$ con la intención de combinar con valores particulares de la función de recuento de primas he considerado esto más interesante

Rompecabezas 2. Encontrar las soluciones sobre números enteros $n\geq 2$ para $$\sigma(\pi(n))=\pi(2n).\tag{2}$$

Hecho computacional. La secuencia de Puzzle 2 comienza como $$3, 5, 9, 45, 46, 47, 48, 761, 1301, 1302,\ldots$$

Pregunta. ¿Cuál es la estrategia para resolver Rompecabezas 2 ? ¿Existen muchas soluciones de $(2)$ ? Muchas gracias.

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Comentario: Finalmente, traté de encontrar en Internet si tales secuencias estaban en la literatura, llamo a estas secuencias de enteros como $\pi$ erfectos (el primer tipo, el segundo tipo...). No sé si es posible escribir un rompecabezas más bonito usando la función de contar primos, y la noción de ser perfecto (con una solución más difícil).

Answer 1

Para demostrar que sólo hay un número finito de soluciones para $2\sigma( \pi(n))=n$ podemos utilizar el hecho de que $\sigma(n)<2 n \log \log n$ para $n>60$ y los resultados de Rosser y Shoenfeld de que $$\pi(n)<1.25506 \frac{n}{\log n} \text{ for } n>1$$ para concluir que $$ 2 \sigma(\pi(n))< \frac{5.02024 n \log \log n}{\log n}.$$ Podemos demostrar que la expresión de la derecha es menor que $n$ para $n<10^6$ y, por tanto, sólo hay un número finito de soluciones para $2\sigma(\pi(n))=n$ .

Comprobación de hasta $10^6$ , encontramos que todas las soluciones son $2,12,26, 48, $ y $504$ .