¿Hay un ejemplo de %#% en $F_{\sigma}$ con el interior vacío y con medida $[0,1]$ #%?

Question

¿Hay un ejemplo de %#% en $F_{\sigma}$ con el interior vacío y con medida $[0,1]$ #%? Me pregunto si existe.

Answer 1

Sí. Como han dicho los comentaristas, basta de complementación, para construir un densa $G_\delta$ conjunto de medida cero.

¡De hecho, usted puede también hacer esto en la línea verdadera entera! Que $(q_n)$ sea una enumeración de los racionales. Definir el conjunto $$E_i = \bigcup_{j\in \mathbb{N}} B(q_j,1/2^{i+j}).$$ Then $E_i$ is a dense open set of Borel measure at most $1/2^i$, and $E_k \subseteq E_i $ for $k > i$. It follows (edit: from the Baire Category Theorem) that $\bigcap_i E_i$ is a dense, $G_\delta$, conjunto nulo.