Demostrar que el límite de la suma de Lebesgue es la integral de Lebesgue

Question

Supongamos que $\mu(E)<\infty$ y $f$ es Lebesgue integrable en $E$ . Demostrar la integral de Lebesgue $$\int f~d\mu= \lim_{m(T)\to 0}\displaystyle\sum_k \tau_k~\mu\{t_k\le f \le t_{k+1}\}.$$ $T=\{...t_{-1}<t_0<t_1<...\}$ es una partición contable de $\mathbb{R}$ , $m(T)=\displaystyle\sup_k|t_{k+1}-t_k|$ y $\tau_k\in[t_k,t_{k+1})$ son puntos aribitrarios.

Por lo tanto, tenemos que mostrar $$\sup\{\int g~d\mu, g\le f\ \text{and}~g~\text{is simple}\}=\lim_{m(T)\to 0}\displaystyle\sum_k \tau_k~\mu\{t_k\le f \le t_{k+1}\}$$

Cuando la partición es finita nad $f$ está limitada, $\displaystyle\sum_k \tau_k~\mu\{t_k\le f \le t_{k+1}\}$ nos da una función simple y creo que podemos usar el teorema de convergencia monótona de Lebesgue. Sin embargo, $f$ no están necesariamente acotadas y la partición es infinita. ¿Cómo tratar este caso?

Answer 1

Sugerencia: Puesto que $f$ es integrable, sabemos que $\int_E |f|\,d\mu < \infty$ . Utilizando la convergencia monótona, esto implica que $$\int_E |f| \mathbf{1}_{|f| > N} \,d\mu \xrightarrow{N \to \infty} 0.$$ Así, para cualquier $\epsilon > 0$ podemos encontrar un $N$ para que $\int_E |f| \mathbf{1}_{|f| > N} \,d\mu < \epsilon$ . Utilice este tipo de argumento para restringir al caso de particiones finitas y $f$ limitado.

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Edición: Es un poco más complicado que lo que decía mi pista, así que he puesto la solución completa a continuación: Por conveniencia, asuma $f$ es no negativo (por definición de la integral de Lebesgue, es fácil salvar la distancia entre éste y el caso general).

Fijar $\epsilon > 0$ y elija $N$ para que $\int_E f \mathbf{1}_{f > N} \,d\mu < \epsilon$ . A continuación, desglosa la suma: $$\sum_k \tau_k \mu\{t_k \leq f \leq t_{k+1}\} = \sum_{k:t_{k+1}\leq N} \tau_k \mu\{t_k \leq f \leq t_{k+1}\} + \sum_{k:t_{k+1}> N} \tau_k \mu\{t_k \leq f \leq t_{k+1}\}.$$

Obsérvese que este último término satisface $$\sum_{k : t_{k+1} > N}\tau_k \mu\{t_k \leq f\leq t_{k+1}\} = \sum_{k: t_{k+1} > N} t_k \mu\{t_k \leq f \leq t_{k+1}\} + \sum_{k: t_{k+1} > N} (\tau_k - t_{k+1}) \mu\{t_k \leq f \leq t_{k+1}\}.$$

Este último término puede acotarse mediante $m(T)\mu(E)$ que llega a cero cuando $m(T) \to 0$ . Obsérvese entonces que la primera suma es menor que $f \mathbf{1}_{f \geq N}$ Esto demuestra que para cualquier $\epsilon'>0$ tenemos finalmente (para un valor suficientemente pequeño $m(T)$ que $$\sum_{k : t_{k+1} > N}\tau_k \mu\{t_k \leq f\leq t_{k+1}\} + \epsilon' \leq \int_{E} f \mathbf{1}_{f \geq N}\,d\mu.$$

Haciendo lo mismo para el límite superior de $t_{k+1}$ da que $$\sum_{k : t_{k+1} > N}\tau_k \mu\{t_k \leq f\leq t_{k+1}\} \xrightarrow{m(T) \to 0} \int_{E} f\mathbf{1}_{f \geq N}\,d\mu < \epsilon.$$

A continuación, puede utilizar la convergencia dominada por Lebesgue para demostrar que $$\sum_{k :t_{k+1} \leq N} \tau_k \mu\{t_k \leq f \leq t_{k+1}\} \xrightarrow{m(T) \to 0} \int_{E} f \mathbf{1}_{f \leq N} \,d\mu$$ donde la función dominante es $f+1$ para cuando $m(T) < 1$ . Tomando $\epsilon \to 0$ completa la prueba.