¿Qué se puede decir del conjunto de puntos que hacen que el MVT "funcione"?

Question

Consideremos una función (de valor real) $f$ que es diferenciable en un intervalo abierto $I$ de $\mathbb R$ .

Para $a\neq b$ en $\mathbb R$ consideramos $S_{a,b}=\left\{ x\in I\; \middle|\; f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\; \right\}$ . $S_{a,b}$ es no vacío por el Teorema del Valor Medio.

Ahora $\displaystyle S=\bigcup_{a\neq b \in I}S_{a,b}$

¿Qué se puede decir sobre $S$ ?

¿Se ha estudiado antes este conjunto? ¿Es $S$ ¿un intervalo? ¿Es $S$ ¿Abrir?

Claramente, $S$ es un subconjunto de $I$ pero la inclusión puede ser estricta. Por ejemplo, si $f(x)=x^3$ tenemos $0\notin S$ . Este ejemplo también demuestra que $S$ no siempre es un intervalo.

Nota: no dude en añadir condiciones en $f$ si permite $S$ tener buenas propiedades.

Answer 1

Veamos esta cuestión de forma más geométrica. Empecemos con un punto $x$ y calcular la derivada de $f$ en $x$ y, por tanto, línea tangente en $(x,f(x))$ . Permite que la recta tangente se traslade hacia arriba o hacia abajo. Si después de la traslación, la recta corta a la gráfica de $f$ en dos puntos distintos $(a,f(a)),(b,f(b))$ tal que $a\lt x\lt b$ entonces $x\in S$ por definición.

Hay una buena propiedad de la función $f$ que garantiza la existencia de tales puntos $a,b$ . Si $f$ es localmente convexa (o cóncava) alrededor de $p$ (es decir $f$ es convexa (resp. cóncava) en un intervalo abierto $U$ que contiene $p$ ), entonces tal $a,b$ debe existir. Obsérvese que todos los puntos de $U$ también están en $S$ porque tienen la misma propiedad que $x$ por lo que $x$ un punto interior de $S$ .

Para una prueba informal de la afirmación de que la convexidad local (resp. concavidad) es suficiente, empecemos eligiendo dos puntos $p-\varepsilon,p+\varepsilon$ para algún $\varepsilon\gt0$ . Dibuja la línea tangente de $f$ en $p$ y elige el segmento delimitado por las dos líneas verticales $x=p-\varepsilon$ y $x=p+\varepsilon$ . Debido a la convexidad (resp. concavidad), el punto $(p,f(p))$ está por debajo (o por encima) del segmento de recta que une $(p-\varepsilon,f(p-\varepsilon))$ y $(p+\varepsilon,f(p+\varepsilon))$ . Por lo tanto, mueve el segmento tangente hacia arriba (o hacia abajo) hasta que toque uno de los dos puntos $(p-\varepsilon,f(p-\varepsilon)),(p+\varepsilon,f(p+\varepsilon))$ . Utilizar el teorema del valor intermedio (como $f$ es continua) para concluir que el segmento tangente desplazado corta a la gráfica de $f$ en otro punto $(p',f(p'))$ con $p\lt p'\le p+\varepsilon$ si el segmento tangente móvil toca $(p-\varepsilon,f(p-\varepsilon))$ primero, y $p-\varepsilon\le p'\lt p$ si el segmento tangente móvil toca $(p+\varepsilon,f(p+\varepsilon))$ primero.

Estos argumentos también muestran por qué es posible que $0\notin S$ para $f(x)=x^3$ y no para otros puntos.. $0$ es un punto de inflexión de $x^3$ donde es posible que $0\notin S$ .

Answer 2

Para cualquier $y$ defina

$$g_y(x) = f(x) - f'(y) (x-y).$$

Claramente $g_y'(y) = 0$ Así que

• o bien $y$ es un extremo local, y en este caso claramente $y \in S$ .

• o $y$ no es un extremo, lo que equivale a $g_y'$ (y por tanto también f') que tiene un extremo estricto en $y$ (es decir, como mostró @edm, $f$ es estrictamente cóncavo o estrictamente convexo en ese punto).

Esto significa que $\{x: f' \, \text{does not have a strict extremum at } x\} \subset S$ . La otra inclusión no es cierta: tomemos por ejemplo $f = e^{x^2} \sin (x)$ donde $S = \mathbb R$ pero $f''$ desaparece en muchos lugares.