Supongo que, en referencia a las coordenadas locales $x^0,x^1,x^2,x^3$, el vector $\partial_{x^0}$ es timelike y $\partial_{x^i}$ son spacelike para $i=1,2,3$.
Yo de ahora en adelante el uso de la firma $-,+,+,+$.
Nociones como la velocidad se puede definir, en general, los sistemas de coordenadas, pero algunas de las precauciones que sean necesarias.
La primera de todas las $x^0$ no es el tiempo físico medido a lo largo de timelike curvas de $x^i=$ constante (i=1,2,3) en representación de los observadores en reposo y con las coordenadas y por lo tanto parametrizadas por la coordenada $x^0$. El tiempo físico, medido física de los relojes, es el tiempo apropiado a lo largo de estas curvas de $d\tau = \sqrt{-g_{00}} dx^0$. En términos prácticos, una "pequeña" desplazamiento de $$\Delta a \partial_{x^0}$$ a lo largo de este eje temporal corresponde a un físico intervalo de tiempo
$$\Delta\tau = \sqrt{-g(\Delta a \partial_{x^0},\Delta a \partial_{x^0})}= \Delta a \sqrt{-g_{00}}$$
Un spacelike $3$superficie $\Sigma_{x^0}$ definido por la fijación de $x^0=$ constante que puede ser interpretado como el resto de espacio en el sistema de coordenadas provisto de un adecuado (Euclidiana) métrica se define en él. Este es no es el habitual métrica $h$ inducida por $g$ en la forma estándar $h(X,Y):= g(X,Y)$ $X,Y$ tangente a $\Sigma_{x^0}$. La definición de la física correcta métrica surge forma la restricción de que la luz-como rutas de acceso deben tener una constante de velocidad de la $1$.
No es difícil probar que (por ejemplo, véase Landau-Lifsits' libro sobre la Teoría de Campo de la secta. 84 cap.10 para un buen físico "prueba") las métricas adecuadas es sólo que usted escribió.
Si usted se considera un par de vectores de la tangente con el resto de espacio de $\Sigma_{x^0}$, es decir,
$$X= \sum_{i=1}^3 X^i\partial_{x^i}\quad \mbox{and} \quad Y= \sum_{i=1}^3 Y^i\partial_{x^i}$$
a continuación, el físico, el producto escalar es
$$\gamma(X,Y) := \sum_{i,j=1}^3 \left(g_{ij} - \frac{g_{i0}g_{j0}}{g_{00}}\right) X^iY^j\:.$$
Observe que $\gamma$ está definido en todos los vectores en el espacio-tiempo no sólo los tangente a $\Sigma_{x^0}$:
Si $$X= X^\mu\partial_{x^\mu}\quad \mbox{and} \quad Y= Y^\nu\partial_{x^\nu}$$
$$\gamma(X,Y) := \left(g_{\mu\nu} - \frac{g_{\mu 0}g_{\nu 0}}{g_{00}}\right) X^\mu Y^\nu = \sum_{i,j=1}^3 \left(g_{ij} - \frac{g_{i0}g_{j0}}{g_{00}}\right) X^iY^j$$
y se extrae automáticamente la espacial parte de ellos, ya que los $\gamma(X, \partial_{x^0})=0$.
Ahora pasamos a la definición de la velocidad de una partícula con respecto a dicho marco de referencia. La historia de la partícula es una curva de $x^\mu = x^\mu(s)$, la naturaleza de la $s$ no importa. El vector tangente a esta curva es $$X= \frac{dx^\mu}{ds} \partial_{x^\mu}$$
Podemos escribir, si la curva es lo suficientemente suave,
$$x^\mu(s+ \Delta s) = x^\mu(s) + \Delta s X^\mu(s) + O((\Delta s^2)) \:.$$
Durante el intervalo de parámetro $\Delta s$, la partícula se ejecuta en $\Sigma_{x^{0}(s)}$ una cantidad de espacio físico
$$\Delta l = \sqrt{\gamma\left( \Delta s X,\Delta s X\right)} = \Delta s \sqrt{\gamma(X,X)}$$
hasta el segundo orden de $\Delta s$ infinitesimals.
La cantidad correspondiente de física en el tiempo que se extrae de la proyección ortogonal de a $\Delta s X$ a lo largo del eje de tiempo $\partial_{x^0}$ tomando su normalización en cuenta:
$$T = g\left( \Delta s X, \frac{\partial_{x^0}}{\sqrt{-g_{00}}}\right) \frac{\partial_{x^0}}{\sqrt{-g_{00}}} = \Delta s \frac{X^0 g_{00} + \sum_{i=1}^3 g_{0i}X^i}{-g_{00}}\partial_{x^0}\:.$$
De acuerdo a mi primer comentario anterior, la longitud (con respecto a $g$) de este vector es la cantidad de tiempo físico pasó por la partícula en el intervalo de $\Delta s$ de parámetro. Este tiempo se mide por el tiempo apropiado de un reloj en movimiento a lo largo de la $x^0$ eje.
$$\Delta \tau = \sqrt{-g(T,T)} = \Delta s \frac{X^0 g_{00} + \sum_{i=1}^3 g_{0i}X^i}{\sqrt{-g_{00}}}$$
hasta el segundo orden de $\Delta s$ infinitesimals.
En resumen, la velocidad de la partícula se refiere a las coordenadas $x^0,x^1,x^2,x^3$ es
$$v = \lim_{\Delta s \to 0}\frac{\Delta l}{\Delta \tau} = \sqrt{-g_{00}}\frac{\sqrt{\gamma(X,X)}}{X^0 g_{00} + \sum_{i=1}^3 g_{0i}X^i}$ $ , de modo que
$$v^2 = -g_{00}\frac{\gamma(X,X)}{(X^0 g_{00} + \sum_{i=1}^3 g_{0i}X^i)^2} $$
Este es el riguroso de la expresión de la fórmula que usted escribió. El vector $X$, en tu caso, tiene componentes $X^\mu = dx^\mu$. El signo menos delante de la derecha es simplemente debido a la diferente elección de la firma de la métrica.
COMENTARIO. Estos conceptos no están relacionados con la elección de una curva del espacio-tiempo. Todo es válido también en el espacio-tiempo de Minkowski en referencia a la no-Minkowskian coordina con $g_{0k}\neq 0$ (y posiblemente $g_{00} \neq -1$). Un ejemplo son las coordenadas en reposo con una plataforma giratoria con respecto a un sistema inercial en Minkowki el espacio-tiempo.
