Aproximación para $(1 - \frac{1}{x})^x$

Question

De acuerdo a esta encuesta papel en la Floración de los Filtros, podemos hacer la siguiente aproximación

$$(1 - \frac{1}{m})^{kn} \approx e^{\frac{-kn}{m}}$$

que supuestamente es un $O(\frac 1m)$ aproximación. Soy curioso en cuanto a por qué esto es así. Yo sé que:

• $(1 - \frac{1}{x})^x$ finalmente converge a $e^{-1}$ porque de L'Hospital de la regla.

• $(1 - \frac{1}{x})^x$ puede ser expresado como $e^{-1} \prod_{i=1}^{\infty} e^{\frac{-1}{(i+1)x^i}} $ usando una expansión de Taylor.

Sin embargo, yo no veo una manera limpia de mostrar que es un $O(\frac 1m)$ aproximación.

Answer 1

Tenemos: $$ \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{x\log\left(1-\frac{1}{x}\right)} = e^{x\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)} = e^{\left(-{1}-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)}$$

por expansión de Taylor de $\log(1-t)$$0$. A continuación, mediante la ampliación de la exponencial : $$ e^{\left(-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)} = 1-\frac{1}{2x}+o\left(\frac{1}{x}\right) + o\left(\frac{1}{x}\right) = 1+O(1/x) $$

De modo que conectar todo de nuevo: $$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^x = e^{-1}(1+O(1/x)) = e^{-1}+O(1/x)$$