Diferenciación implícita

Question

Me estaba preguntando de donde viene la y'/(dy/dx) en la diferenciación implícita. ¿ $$x ^ 2 + y ^ 2 = 25$$ $$(d/dx) x ^ 2 + (d/dy) y ^ **(dy/dx) ** 2 = 25 (d/dx)$$ $$2 x + 2y (dy/dx) = 0$$ $$(dy/dx) = - x / y$$ de donde viene la parte en negrita? Wikipedia dice que es un subproducto de la regla de la cadena, pero no haga clic en para mí.

Answer 1

Cuando implícitamente se diferencian $x^2+y^2=25$, se están diferenciando con respecto a una variable en particular-en este caso, $x$, así: $$\begin{align} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)&=\frac{d}{dx}25 \\ \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)&=0 \\ 2x+2y\frac{dy}{dx}&=0 \\ 2y\frac{dy}{dx}&=-2x \\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y} \end{align}$$

A partir de la línea 3 a la línea 4, $\frac{d}{dx}(y^2)$ es la derivada con respecto al $x$$y^2$, en el que (como en Ryan Budney del comentario) suponemos que $y$ es alguna función de $x$, por lo que aplicar la regla de la cadena, diferenciando $y^2$ con respecto al $y$ y multiplicando por la derivada de la $y$ con respecto al $x$ para obtener $2y\frac{dy}{dx}$.

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edit: Basado en los comentarios de abajo, yo creo que puede ser útil si se me introdujo un poco diferente de la notación: Vamos a $D_x$ ser el operador diferencial con respecto a $x$, lo que has escrito anteriormente como $\frac{d}{dx}$ (y, análogamente, $D_y$ es el operador diferencial con respecto a $y$). Cuando aplicamos el operador diferencial a algo, de leer y escribir como una función: $D_x(x^2)=2x$ es "la derivada con respecto al $x$$x^2$$2x$."

Ahora, la reescritura de la obra anterior en esta notación:

$$\begin{align} D_x(x^2+y^2)&=D_x(25) \\ D_x(x^2)+D_x(y^2)&=0 \\ 2x+D_y(y^2)D_x(y)&=0 \\ 2x+2yD_x(y)&=0 \\ 2yD_x(y)&=-2x \\ D_x(y)=\frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y} \end{align}$$

Y, a su pregunta de búsqueda de $\frac{dx}{dy}$: $$\begin{align} D_y(x^2+y^2)&=D_y(25) \\ D_y(x^2)+D_y(y^2)&=0 \\ D_x(x^2)D_y(x)+2y&=0 \\ 2xD_y(x)+2y&=0 \\ 2xD_y(x)&=-2y \\ D_y(x)=\frac{dx}{dy}&=-\frac{y}{x} \end{align}$$

Answer 2

Isaac y Ryan ya respondieron a tu pregunta en palabras. Ahora, en símbolos, la regla de la cadena da: $$\frac{d(y^2)}{dx} = \frac{d(y^2)}{dy}\frac{dy}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}