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Diferenciación implícita

Me estaba preguntando de donde viene la y'/(dy/dx) en la diferenciación implícita. ¿x2+y2=25 (d/dx) x ^ 2 + (d/dy) y ^ **(dy/dx) ** 2 = 25 (d/dx) 2 x + 2y (dy/dx) = 0 (dy/dx) = - x / y de donde viene la parte en negrita? Wikipedia dice que es un subproducto de la regla de la cadena, pero no haga clic en para mí.

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pix0r Puntos 17854

Cuando implícitamente se diferencian x^2+y^2=25, se están diferenciando con respecto a una variable en particular-en este caso, x, así: \begin{align} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)&=\frac{d}{dx}25 \\ \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)&=0 \\ 2x+2y\frac{dy}{dx}&=0 \\ 2y\frac{dy}{dx}&=-2x \\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y} \end{align}

A partir de la línea 3 a la línea 4, \frac{d}{dx}(y^2) es la derivada con respecto al xy^2, en el que (como en Ryan Budney del comentario) suponemos que y es alguna función de x, por lo que aplicar la regla de la cadena, diferenciando y^2 con respecto al y y multiplicando por la derivada de la y con respecto al x para obtener 2y\frac{dy}{dx}.


edit: Basado en los comentarios de abajo, yo creo que puede ser útil si se me introdujo un poco diferente de la notación: Vamos a D_x ser el operador diferencial con respecto a x, lo que has escrito anteriormente como \frac{d}{dx} (y, análogamente, D_y es el operador diferencial con respecto a y). Cuando aplicamos el operador diferencial a algo, de leer y escribir como una función: D_x(x^2)=2x es "la derivada con respecto al xx^22x."

Ahora, la reescritura de la obra anterior en esta notación:

\begin{align} D_x(x^2+y^2)&=D_x(25) \\ D_x(x^2)+D_x(y^2)&=0 \\ 2x+D_y(y^2)D_x(y)&=0 \\ 2x+2yD_x(y)&=0 \\ 2yD_x(y)&=-2x \\ D_x(y)=\frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y} \end{align}

Y, a su pregunta de búsqueda de \frac{dx}{dy}: \begin{align} D_y(x^2+y^2)&=D_y(25) \\ D_y(x^2)+D_y(y^2)&=0 \\ D_x(x^2)D_y(x)+2y&=0 \\ 2xD_y(x)+2y&=0 \\ 2xD_y(x)&=-2y \\ D_y(x)=\frac{dx}{dy}&=-\frac{y}{x} \end{align}

9voto

Jesse Madnick Puntos 13166

Isaac y Ryan ya respondieron a tu pregunta en palabras. Ahora, en símbolos, la regla de la cadena da: $$\frac{d(y^2)}{dx} = \frac{d(y^2)}{dy}\frac{dy}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}

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