Me estaba preguntando de donde viene la y'/(dy/dx) en la diferenciación implícita. ¿x2+y2=25 (d/dx) x ^ 2 + (d/dy) y ^ **(dy/dx) ** 2 = 25 (d/dx) 2 x + 2y (dy/dx) = 0 (dy/dx) = - x / y de donde viene la parte en negrita? Wikipedia dice que es un subproducto de la regla de la cadena, pero no haga clic en para mí.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Cuando implícitamente se diferencian x^2+y^2=25, se están diferenciando con respecto a una variable en particular-en este caso, x, así: \begin{align} \frac{d}{dx}(x^2+y^2)&=\frac{d}{dx}25 \\ \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)&=0 \\ 2x+2y\frac{dy}{dx}&=0 \\ 2y\frac{dy}{dx}&=-2x \\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y} \end{align}
A partir de la línea 3 a la línea 4, \frac{d}{dx}(y^2) es la derivada con respecto al xy^2, en el que (como en Ryan Budney del comentario) suponemos que y es alguna función de x, por lo que aplicar la regla de la cadena, diferenciando y^2 con respecto al y y multiplicando por la derivada de la y con respecto al x para obtener 2y\frac{dy}{dx}.
edit: Basado en los comentarios de abajo, yo creo que puede ser útil si se me introdujo un poco diferente de la notación: Vamos a D_x ser el operador diferencial con respecto a x, lo que has escrito anteriormente como \frac{d}{dx} (y, análogamente, D_y es el operador diferencial con respecto a y). Cuando aplicamos el operador diferencial a algo, de leer y escribir como una función: D_x(x^2)=2x es "la derivada con respecto al xx^22x."
Ahora, la reescritura de la obra anterior en esta notación:
\begin{align} D_x(x^2+y^2)&=D_x(25) \\ D_x(x^2)+D_x(y^2)&=0 \\ 2x+D_y(y^2)D_x(y)&=0 \\ 2x+2yD_x(y)&=0 \\ 2yD_x(y)&=-2x \\ D_x(y)=\frac{dy}{dx}&=-\frac{x}{y} \end{align}
Y, a su pregunta de búsqueda de \frac{dx}{dy}: \begin{align} D_y(x^2+y^2)&=D_y(25) \\ D_y(x^2)+D_y(y^2)&=0 \\ D_x(x^2)D_y(x)+2y&=0 \\ 2xD_y(x)+2y&=0 \\ 2xD_y(x)&=-2y \\ D_y(x)=\frac{dx}{dy}&=-\frac{y}{x} \end{align}