Que $H$ denotan un espacio de Hilbert. Para cualquier subespacio cerrado $C \subseteq H$, escriba $P_C$ para la proyección ortogonal en $C$. Según wikipedia, el compuesto $P_U \circ P_V$ no necesita ser una proyección. ¿Es decir, que no necesita ser el caso que $P_U \circ P_V = P_{U \cap V}.$ esto es realmente cierto?
Respuesta
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Es cierto, que puede ser fácilmente demostrado en ${\mathbb{R}^2}$.
Deje $U = \left\{ {\left( {x,0} \right):x \in \mathbb{R}} \right\}$$V = \left\{ {\left( {x,y} \right):x - y = 0} \right\}$.
Deje ${P_U}\left( {x,y} \right) = \left( {x + y,0} \right)$${P_V}\left( {x,y} \right) = \left( {x,x} \right)$. Tenga en cuenta que ambas son proyecciones, ya que $P_U^2 = {P_U}$$P_V^2 = {P_V}$.
A continuación,${\left( {{P_V}{P_U}} \right)^2} \ne {P_V}{P_U}$, ya que el ${P_U}\left( {1,1} \right) = \left( {2,0} \right),{P_V}\left( {2,0} \right) = \left( {2,2} \right),{P_U}\left( {2,2} \right) = \left( {4,0} \right),{P_V}\left( {4,0} \right) = \left( {4,4} \right)$, lo ${{P_V}{P_U}}$ no es una proyección, a pesar de que ambos ${P_V}$${P_U}$.
EDIT: tenga en cuenta que las nociones de proyección y proyección ortogonal no son los mismos. Definición de la proyección es que es lineal en el mapa, que es idempotente. Definición de la proyección ortogonal es que es una proyección cuya imagen y núcleo son ortogonales. Se puede demostrar que la condición de ortogonalidad es equivalente a la condición de que ${P^*} = P$. Así, para las proyecciones que hemos ${P^2} = P$, mientras que para las proyecciones ortogonales tenemos ${P^2} = P = {P^*}$ (${P^*}$ es la contigua mapa a $P$).
Uno puede preguntarse, desde la declaración no se mantiene para las proyecciones en general, es cierto que si nos limitamos a las proyecciones ortogonales?
La respuesta sigue siendo no, desde la ${P_U}\left( {x,y} \right) = \left( {x,0} \right)$ ${P_V}\left( {x,y} \right) = \left( {\frac{{x + y}}{2},\frac{{x + y}}{2}} \right)$ son proyecciones ortogonales ($P_U^2 = {P_U}$, $P_V^2 = {P_V}$, $\operatorname{Im} {P_U} = \left\{ {\left( {x,0} \right):x \in \mathbb{R}} \right\} \bot \left\{ {\left( {0,y} \right):y \in \mathbb{R}} \right\} = \ker {P_U}$ y $\operatorname{Im} {P_V} = \left\{ {\left( {x,x} \right):x \in \mathbb{R}} \right\} \bot \left\{ {\left( { - x,x} \right):x \in \mathbb{R}} \right\} = \ker {P_V}$), pero ${P_U}{P_V}{P_U}{P_V}\left( {1,1} \right) = {P_U}{P_V}{P_U}\left( {1,1} \right) = {P_U}{P_V}\left( {1,0} \right) = {P_U}\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2},0} \right)$, lo ${P_U}{P_V}\left( {1,1} \right) = \left( {1,0} \right) \ne \left( {\frac{1}{2},0} \right) = {\left( {{P_U}{P_V}} \right)^2}\left( {1,1} \right)$.
Llegamos a la conclusión de que incluso ortogonalidad no es garantía de que ${{P_U}{P_V}}$ sigue siendo una proyección, por no hablar de una proyección ortogonal.
